Загрузка заданий...
Вариант 152 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 175/65 R13?
Решение
В маркировке 175/65 R13 ширина шины равна 175 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 175 · 65 / 100 = 113.75 мм. Ответ: 113.75.
Ответ: 113.75
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R13?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и нового колеса 195/60 R13. Ответ: 14.4.
Ответ: 14.4
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/70 R12 получаем диаметр 549.8 мм. Ответ: 549.8.
Ответ: 549.8
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/65 R13? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и колеса 175/65 R13, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.4.
Ответ: 1.4
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,5 + 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,5 + 0,4\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,5) + 0,4 = 0,9\).
Ответ: \(0,9\).
Ответ: 0,9
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,154 ≈ -2,154
2) -1,38 ≈ -1,38
3) \(\frac{5}{3}\) ≈ 1,6667
4) \(\frac{\sqrt{27}}{2}\) ≈ 2,5981
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{35}$$
Решение
Вычислим выражение: 3√7 · 5√5 · √35.
Перемножим коэффициенты: 3 · 5 = 15.
Подкоренные выражения дают: √7 · √5 · √35 = √(7·5·35) = √(1225) = 35.
Тогда всё выражение равно 15 · 35 = 525.
Ответ: 525.
Ответ: 525
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 2x + 3y = -10 \\ 8x - 6y = -40 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
2x + 3y = -10
8x - 6y = -40
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на 2.
Получим:
\((2x + 3y = -10) \cdot 8\): 16x + 24y = -80
\((8x - 6y = -40) \cdot 2\): 16x - 12y = -80
Вычтем второе уравнение из первого:
36y = 0
y = 0 / 36 = 0
Подставим y = 0 в первое уравнение:
2x + 3y = -10
Получаем x = -5.
Ответ: (-5;0)
Ответ: -5;0
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 10 чёрных, 8 жёлтых и 7 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 8 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{8}{25}\) = 0,32.
Ответ: 0,32.
Ответ: 0,32
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b < 0
2) k < 0, b < 0
3) k > 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 5 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 392 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 392/(9,8·5) = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 0,3 − 6x \leqslant 4,5 \\ 2x + 1,5 \leqslant 6,3 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-0,7;2,4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 7 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 7, q = 3.
За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 7·3^3 = 189 мг.
Ответ: 189.
Ответ: 189
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 8 · 31 = 248/2 = 124.
Ответ: 124.
Ответ: 124
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 12, BC = 5, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По теореме Пифагора AB = 13.
Следовательно, R = AB / 2 = 13 / 2 = 6,5.
Ответ: 6,5.
Ответ: 6,5
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.
sin 150° = \(\frac{1}{2}\).
h = 34 · \(\frac{1}{2}\) = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.
Ответ: 13.
Ответ: 13
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-19}{(x+5)^2-6}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-19<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+5)^2-6<0\).
Шаг 2. \((x+5)^2<6\).
Шаг 3. \(-\sqrt{6}<x+5<\sqrt{6}\).
Шаг 4. Вычитаем 5: \(-5-\sqrt{6}<x<-5+\sqrt{6}\).
Ответ: \((-5-\sqrt{6};\; -5+\sqrt{6})\).
Правильный ответ: (-5-√6;-5+√6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 9 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 2 км.
Длина круга = x + 2 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 9 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{9}{60}\)) = 0,85 ч.
Длина круга = (x + 5) · 0,85 км.
Шаг 4. Приравниваем: x + 2 = (x + 5) · 0,85.
Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 15 км/ч.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{18}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).
Ответ: {0}∪[9;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 15, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 1,5 раза меньше AB, то есть AB = 1,5·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 1,5 = 15 / 1,5 = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка P лежит на биссектрисе угла C.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла C одинаково.
Шаг 2. Точка P лежит на биссектрисе угла D.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла D одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от P до каждой из прямых BC, CD и AD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 115° − 90° = 25°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 95° − 90° = 5°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 25° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 5° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 5° = 85°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 85° − 25° = 60°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(60°) = 12 / sin(60°) = 8√3.
Ответ: 8√3.
Правильный ответ: 8√3
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.