Загрузка заданий...

Вариант 156 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{7}{10}) \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{40}$.

Получили дробь $\frac{7}{40}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,175$.

Ответ: $0,175$.

Ответ: 0,175

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-11}{5}$, $\sqrt{3}$, $\frac{\sqrt{24}}{2}$, 3,1 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-11}{5}$

$\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{24}}{2}$

3,1

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-11}{5}$ ≈ -2,2

2) $\sqrt{3}$ ≈ 1,7321

3) $\frac{\sqrt{24}}{2}$ ≈ 2,4495

4) 3,1 ≈ 3,1

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2^{3} \cdot (2^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 2^(3) · (2^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^3)^2 = 2^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^3 · 2^6 = 2^9.

Получаем 2^9 = 512.

Ответ: 512.

Ответ: 512

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(2x - 5)}{5} - \frac{(-9x - 2)}{5} - 6x = -31$$

Решение

Решим уравнение: (2x - 5)/5 - (-9x - 2)/5 - 6x = -31

Домножим обе части на НОК знаменателей 5 и 5, то есть на 5.

Получим:

(2x - 5) - (-9x - 2) - 30x = -155

Приведём подобные слагаемые:

-19x - 3 = -155

Перенесём число в правую часть:

-19x = -152

Разделим обе части на -19:

x = -152 / -19

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,85.

Ответ: 0,85

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -12/x

Б) y = -0.75x - 1

В) y = -1x² + 5

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 135 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 135·1000 = 135 000 Дж.

v = √(2·135 000/1200) = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

5x + 3 > 6x + 2

(-∞;-5)

(-1;+∞)

(-∞;1)

(1;+∞)

Решение

Решим неравенство: 5x + 3 > 6x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x < -1.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -1: x < 1.

Значит, x меньше 1.

Этому соответствует промежуток (-∞;1).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 9 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 9, q = 3.

За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 9·3^3 = 243 мг.

Ответ: 243.

Ответ: 243

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = 2/5. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 20 · 7 · $\frac{2}{5}$ = 280/10 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 32°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 32° = 58°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 58°.

Ответ: 58.

Ответ: 58

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов прямоугольной трапеции равен 82°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.

Искомый угол равен 180° - 82° = 98°.

Ответ: 98.

Ответ: 98

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 4 и 10, высота равна 4.

S = (4 + 10) / 2 · 4 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+3)^4+2(x+3)^2-8=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биквадратное по $(x+3)$. Замена $t=(x+3)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+2t-8=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+4)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-4$, $t_2=2$.

Шаг 3. Берём только $t=2$ (так как $t\ge0$, значение $t=-4$ не подходит).

Шаг 4. Решаем $(x+3)^2=2$:

$x+3=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=-3\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-3-\sqrt{2};\quad -3+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: -3-√2;-3+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение:

80/(x+5) + 23 + 80/(x−5) = 35.

Шаг 3. Переносим стоянку: 80/(x+5) + 80/(x−5) = 12.

Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

80(x−5) + 80(x+5) = 12(x²−25).

Шаг 5. Левая часть: 2·80·x = 160x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 15.

Шаг 7. Проверка: 4 + 23 + 8 = 35. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=1-\dfrac{x+5}{x^2+5x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=1-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-5 $.

У функции $ y=1-\frac1x $ нет значений $ y=1 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=1,2 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=1; 1,2 $.

Ответ: 1; 1,2.

Правильный ответ: 1; 1,2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 20, полухорда = AB/2 = 15.

R² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 20.

d² = R² − 20² = 625 − 400 = 225. d = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка M лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка M лежит на биссектрисе угла D.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла D одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от M до каждой из прямых AB, AD и CD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 12, AC = 72, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 12²/72 = 144/72.

Шаг 4. CD = AC − AD = 72 − 144/72 = 70.

Ответ: 70.

Правильный ответ: 70

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.