Загрузка заданий...

Вариант 16 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 28 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈28 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.

Ответ: 450

6 Задание 6 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{100} + 4 : \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{100} + 4 : \frac{1}{4}$.
Последовательно выполняем действия (сложение, деление):
Шаг 1: $(\frac{9}{100}) + 4 = 4,09$.
Шаг 2: $(4,09) : \frac{1}{4} = 16,36$.
Получили результат $16,36$.
Ответ: $16,36$.

Ответ: 16,36

7 Задание 7 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -1,25 и $\frac{17}{4}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{21}{5}$

-4,75

$-\frac{11}{4}$

$-\frac{43}{40}$

Решение

Сравним числа -1,25 и $\frac{17}{4}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 ($-\frac{43}{40}$) лежит между этими числами.
Ответ: 4

Ответ: 4

8 Задание 8 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{10} \cdot \sqrt{100}$$

Решение

Вычислим выражение: 6√10 · 4√10 · √100.
Перемножим коэффициенты: 6 · 4 = 24.
Подкоренные выражения дают: √10 · √10 · √100 = √(10·10·100) = √(10000) = 100.
Тогда всё выражение равно 24 · 100 = 2400.
Ответ: 2400.

Ответ: 2400

9 Уравнения 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{3}{x - 7} = 3$$

Решение

Решим уравнение: 3/(x - 7) = 3
Область допустимых значений: x != 7.
Умножим обе части уравнения на x - 7:
3 = 3(x - 7)
Раскроем скобки:
3 = 3x - 21
Перенесём число в левую часть:
24 = 3x
x = 24 / 3
x = 8
Проверка ОДЗ: x = 8, x != 7, условие выполняется.
Ответ: 8

Ответ: 8

10 Задание 10 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Всего элементарных исходов: 10. Благоприятных для события $A \cap B$: 2.
$P=2/10=0,2$.
Ответ: 0,2

Ответ: 0,2

11 Задание 11 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k < 0, b < 0

Б) k > 0, b > 0

В) k < 0, b > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Задание 12 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2500 кг обладает кинетической энергией 31,25 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 31,25·1000 = 31 250 Дж.
v = √(2·31 250/2500) = 5.
Ответ: 5.

Ответ: 5

13 Задание 13 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 1)(x - 8) ≥ 0

(-1;8)

(-∞;8]

(-∞;-1)

(-∞;-1] ∪ [8;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 8) >= 0 получаем решение (-∞;-1] ∪ [8;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задание 14 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 6 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 6, q = 3.
За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 6·3^5 = 1458 мг.
Ответ: 1458.

Ответ: 1458

15 Задание 15 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 96°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.\nПоэтому он равен 180° - 96° = 84°.\nОтвет: 84.

Ответ: 84

16 Задание 16 1 балл

Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.\np = 110 / 2 = 55.\nS = p·r = 55 · 1 = 55.\nОтвет: 55.

Ответ: 55

17 Задание 17 1 балл

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.\nБиссектриса делит угол A пополам.\nСледовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 41° = 82°.\nОтвет: 82.

Ответ: 82

18 Задание 18 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.\nПо клеткам диагонали равны 4 и 6.\nS = 4 · 6 / 2 = 12.\nОтвет: 12.

Ответ: 12

19 Задание 19 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Задание 20 2 балла

Найдите значение выражения $33a-23b+71$, если $\dfrac{3a-4b+8}{4a-3b+8}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Из условия:
$\dfrac{3a-4b+8}{4a-3b+8}=9$, значит $3a-4b+8=9(4a-3b+8)$.
Получаем $3a-4b+8=36a-27b+72$,
откуда $33a-23b+64=0$, то есть $33a-23b=-64$.
Тогда $33a-23b+71=-64+71=7$.
Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 21. Текстовые задачи 2 балла

Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени.
Общий путь: 450+230+120=800 км.
Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.
Средняя скорость: 800 / 10 = 80 км/ч.
Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 22. Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=|x|\,(x+3)-7x\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Раскрываем модуль отдельно при x ≥ 0 и x < 0. Получаются две части парабол. Граничные уровни, при которых горизонтальная прямая имеет ровно две общие точки, соответствуют вершинам этих частей: m = -(7-3)²/4 и m = (3+7)²/4. Ответ: -4; 25.

Правильный ответ: -4; 25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 23. Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности, поэтому данное расстояние равно радиусу вписанной окружности r. В этой серии задач диагональ равна 4r: 56 = 4·14. Такое соотношение соответствует ромбу с углами 60° и 120°. Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 24. Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Треугольники A₁CB₁ и ACB имеют общий угол при вершине C. Поскольку AA₁ и BB₁ — высоты, углы, образованные сторонами этих треугольников, попарно равны как углы с перпендикулярными сторонами. Следовательно, треугольники A₁CB₁ и ACB подобны по двум углам.

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 25. Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.

✏ Выполни решение на бумаге

Точка пересечения биссектрис соседних углов находится так, что расстояние от неё до стороны AB связано с высотой параллелограмма. В данной конфигурации высота параллелограмма равна удвоенному расстоянию от K до AB, то есть h=2·3. Поэтому площадь равна BC·h = 7·6 = 42. Ответ: 42.

Правильный ответ: 42

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2