Загрузка заданий...
Вариант 169 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
Ответ: 1243
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
Ответ: 4
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
Ответ: 312.5
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
Ответ: 150
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
Ответ: 4800
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,01 + \frac{1}{100}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,01 + \frac{1}{100}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,01) + \frac{1}{100} = 0,02\).
Получили результат \(0,02\).
Ответ: \(0,02\).
Ответ: 0,02
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами -3,625 и \(\frac{39}{8}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -3,625 и \(\frac{39}{8}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(-\frac{7}{4}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{396} + \sqrt{176})\sqrt{11}$$
Решение
Вычислим выражение: (√396 + √176)·√11.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √396 = 6√11, √176 = 4√11.
Тогда получаем (6√11 + 4√11)·√11 = 10√11·√11.
Так как √11·√11 = 11, имеем 10·11 = 110.
Ответ: 110.
Ответ: 110
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x - 8y = -40 \\ x - 4y = -28 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
6x - 8y = -40
x - 4y = -28
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на 6.
Получим:
\((6x - 8y = -40) \cdot 1\): 6x - 8y = -40
\((x - 4y = -28) \cdot 6\): 6x - 24y = -168
Вычтем второе уравнение из первого:
16y = 128
y = 128 / 16 = 8
Подставим y = 8 в первое уравнение:
6x - 8y = -40
Получаем x = 4.
Ответ: (4;8)
Ответ: 4;8
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Саша не выучил 38 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 12 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{12}{50}\) = 0,24.
Ответ: 0,24.
Ответ: 0,24
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 0.8x + 2
Б) y = 0.1/x
В) y = -2x² - 6x + 1
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 158 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 158 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(158 − 32)/9 = 70.
Ответ: 70.
Ответ: 70
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 5)(x - 6) < 0
Решение
Нули выражения: x = -5 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 6) < 0 получаем решение (-5;6). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 30 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 30 минут пройдёт 5 промежутков по 6 минут.
Тогда масса станет равна 320·(\(\frac{1}{2}\))^5 = 10 мг.
Ответ: 10.
Ответ: 10
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 16 · 19 = 304/2 = 152.
Ответ: 152.
Ответ: 152
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.
r = (6√3 · √3) / 6 = \(\frac{18}{6}\) = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 41°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 41° = 82°.
Ответ: 82.
Ответ: 82
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=4: t=(8−4)/(8−2)=\(\frac{2}{3}\). x_A=1+\(\frac{2}{3}\)·3=3, x_B=4+\(\frac{1}{3}\)·3=5. AB=5−3=2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.
3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}2x^2+y^2=36,\\8x^2+4y^2=36x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 4.
Шаг 1. Умножаем первое на 4: \(8x^2+4y^2=144\).
Шаг 2. По второму: \(8x^2+4y^2=36x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(144=36x\Rightarrow x=4\).
Шаг 4. Подставляем \(x=4\):
\(2\cdot16+y^2=36\Rightarrow y^2=4\Rightarrow y=\pm2\).
Ответ: \((4;\,-2);\ (4;\,2)\).
Правильный ответ: (4;-2);(4;2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 1 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 19 + x. Против течения: 19 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
176/(19+x) + 1 + 176/(19−x) = 20.
Шаг 3. Переносим стоянку: 176/(19+x) + 176/(19−x) = 19.
Шаг 4. Умножаем на (19+x)(19−x) = 361−x²:
176(19−x) + 176(19+x) = 19(361−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·176·19 = 6688. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 3.
Шаг 7. Проверка: 8 + 1 + 11 = 20. ✓
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 10\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 10.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 10.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 10. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 10.
Проверка: при m = 10 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(32² + 24²) = √1600 = 40.
Ответ: 40.
Правильный ответ: 40
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. BC = 2·CD (по условию), K — середина BC.
Значит BC/2 = CD/2 ... нет: BC = BC, BC/2 = CD.
Шаг 2. В параллелограмме CD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном DK и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ DK — биссектриса угла ADC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 24 + 9... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 7, AB = 24, CD = 25, BC = 9.
Шаг 3. AD = BC + AB = 9 + 24 = 33.
S = (BC + AD)/2 · h = (9 + 33)/2 · 7 = 300.
Ответ: 300.
Правильный ответ: 300
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.