Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 175/65 R13?
Решение
В маркировке 175/65 R13 ширина шины равна 175 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 175 · 65 / 100 = 113.75 мм. Ответ: 113.75.
Ответ: 113.75
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R13?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и нового колеса 195/60 R13. Ответ: 14.4.
Ответ: 14.4
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/70 R12 получаем диаметр 549.8 мм. Ответ: 549.8.
Ответ: 549.8
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/65 R13? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и колеса 175/65 R13, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.4.
Ответ: 1.4
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$22,5 - 0,01 + 0,075$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(22,5 - 0,01 + 0,075\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((22,5) - 0,01 = 22,49\).
Шаг 2: \((22,49) + 0,075 = 22,565\).
Ответ: \(22,565\).
Ответ: 22,565
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел \(\frac{-57}{16}\), 0,577, \(\frac{\sqrt{6}}{2}\), \(\frac{13}{9}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{-57}{16}\)
2
0,577
3
\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
4
\(\frac{13}{9}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-57}{16}\) ≈ -3,5625
2) 0,577 ≈ 0,577
3) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) ≈ 1,2247
4) \(\frac{13}{9}\) ≈ 1,4444
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 1)(\sqrt{11} + 1)$$
Решение
Вычислим выражение: (√11 - 1)(√11 + 1).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√11)² - 1² = 11 - 1 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{8}{x - 5} = -8$$
Решение
Решим уравнение: 8/(x - 5) = -8
Область допустимых значений: x != 5.
Умножим обе части уравнения на x - 5:
8 = -8(x - 5)
Раскроем скобки:
8 = -8x + 40
Перенесём число в левую часть:
-32 = -8x
x = -32 / -8
x = 4
Проверка ОДЗ: x = 4, x != 5, условие выполняется.
Ответ: 4
Ответ: 4
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5 с-1, а центростремительное ускорение равно 75 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 75/(5²) = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1
x2 - 64 > 0
2
x2 - 64 < 0
3
x2 - 64 ≥ 0
4
x2 - 64 ≤ 0
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунд?
Решение
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 7, d = 10, n = 4.
Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·7 + 3·10)/2 = 88.
Ответ: 88.
Ответ: 88
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/5, AB = 10. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 10 · \(\frac{3}{5}\) = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 81°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 70° - 81° = -11°.
Ответ: -11.
Ответ: -11
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 74°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 26°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
Решение
Угол A трапеции равен 180° - 74° = 106°.
Диагональ делит угол A на два: 26° и искомый.
Искомый угол равен 106° - 26° = 80°.
Ответ: 80.
Ответ: 80
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 4 и 6.
Больший катет равен 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно: S = \(\frac{1}{2}\) ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.
2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.
Идея: числитель \(-19<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+5)^2-6<0\).
Шаг 2. \((x+5)^2<6\).
Шаг 3. \(-\sqrt{6}<x+5<\sqrt{6}\).
Шаг 4. Вычитаем 5: \(-5-\sqrt{6}<x<-5+\sqrt{6}\).
Ответ: \((-5-\sqrt{6};\; -5+\sqrt{6})\).
Правильный ответ: (-5-√6;-5+√6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 20 кг получается раствор с концентрацией 65%:
12·x + 8·y = 20·0,65 = 13 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 60%:
(x + y)/2 = 0,60 ⟹ x + y = 1,20 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,20 − x. Подставляем в (1):
12·x + 8·(1,20 − x) = 13
12x + 9,6 − 8x = 13
4x = 3,4 ⟹ x = 0,85.
y = 1,20 − 0,85 = 0,35.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 8·0,35 = 2,8 кг.
Ответ: 2,8.
Правильный ответ: 2,8
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=-5-\dfrac{x-2}{x^2-2x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-5-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=2 \).
У функции \( y=-5-\frac1x \) нет значений \( y=-5 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-5,5 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-5,5; -5 \).
Ответ: -5,5; -5.
Правильный ответ: -5,5; -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 75, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 3 раза меньше AB, то есть AB = 3·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 3 = 75 / 3 = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
