Загрузка заданий...
Вариант 212 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,6 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 3, кладовая — 2, спальня — 8, кухня — 4.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 3284.
Ответ: 3284
2
Задание 2
1 балл
Плитка для пола размером 20 см на 20 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,04 = 6,16 кв. м.
Площадь одной плитки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.
Нужно элементов: 6,16 / 0,04 = 154.
В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 31 упаковка.
Ответ: 31.
Ответ: 31
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,64 = 23,04 кв. м.
Ответ: 23,04.
Ответ: 23,04
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «800» | 900 руб. за 800 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб |
| План «1000» | 1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб |
| План «Безлимитный» | 1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?
Решение
Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:
План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.
План «1000»: 1 050 руб.
План «Безлимитный»: 1 100 руб.
Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.
Ответ: 1 000.
Ответ: 1000
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$7,5 - 0,004 - 0,05$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(7,5 - 0,004 - 0,05\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((7,5) - 0,004 = 7,496\).
Шаг 2: \((7,496) - 0,05 = 7,446\).
Ответ: \(7,446\).
Ответ: 7,446
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{\sqrt{15}}{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{\sqrt{15}}{2}\) по своему значению совпадает с точкой C.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3^{-2} \cdot (3^4)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 3^(-2) · (3^4)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^4)^2 = 3^8.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-2 · 3^8 = 3^6.
Получаем 3^6 = 729.
Ответ: 729.
Ответ: 729
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(4x - 9)}{6} - \frac{(4x - 3)}{6} + 7x = -22$$
Решение
Решим уравнение: (4x - 9)/6 - (4x - 3)/6 + 7x = -22
Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 6, то есть на 6.
Получим:
(4x - 9) - (4x - 3) + 42x = -132
Приведём подобные слагаемые:
42x - 6 = -132
Перенесём число в правую часть:
42x = -126
Разделим обе части на 42:
x = -126 / 42
x = -3
Ответ: -3
Ответ: -3
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,4.
Ответ: 0,4
Ответ: 0,4
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 9/x
Б) y = -0.2x - 5
В) y = -1x² + 7x - 7
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 14-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 14 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(14 − 5) = 249.
Ответ: 249.
Ответ: 249
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-4x - 3 ≤ -9x + 2
Решение
Решим неравенство: -4x - 3 <= -9x + 2.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x <= 5.
Делим обе части на 5: x <= 1.
Значит, x меньше или равно 1.
Этому соответствует промежуток (-∞;1].
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 49 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 49 минут пройдёт 7 промежутков по 7 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^7 = 1,5625 мг.
Ответ: 1,5625.
Ответ: 1,5625
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 7/9, AB = 54. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 54 · \(\frac{7}{9}\) = 42.
Ответ: 42.
Ответ: 42
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 54°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 54° = 126°.
Ответ: 126.
Ответ: 126
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 10, BD = 22, AB = 9. Найдите DO.
Решение
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, DO = BD / 2 = 22 / 2 = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 6, высота равна 4.
S = 6 · 4 / 2 = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-2)^4-(x-2)^2-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-2)^2=3\):
\(x-2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(2-\sqrt{3};\quad 2+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 2-√3;2+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 140 литров она заполняет на 3 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 6) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 140/x мин, второй — 140/(x+6) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 3 мин дольше:
140/x − 140/(x+6) = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x+6):
140·(x+6) − 140·x = 3·x·(x+6).
840 = 3·x² + 18·x.
3x² + 18x − 840 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·3·840 = 324 + 10080 = 10404, √D = 102.
x = (−18 + 102) / (2·3) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 140/14 = 10 мин, вторая — 140/20 = 7 мин.
10 − 7 = 3 = 3. ✓
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 2.
Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 8,4, AB = 4.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 8,4·AC − 4² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 8,4·AC − 16 = 0.
Положительный корень: AC = 10.
Проверка: D = (10² − 4²)/10 = \(\frac{84}{10}\) = 8,4. ✓
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. AD = 2·CD (по условию), M — середина AD.
Значит AD/2 = CD/2 ... нет: AD = AD, AD/2 = CD.
Шаг 2. В параллелограмме CD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном CM и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ CM — биссектриса угла BCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 16 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 30, AB = 16, CD = 34, BC = 2.
Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 16 = 18.
S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 18)/2 · 30 = 272.
Ответ: 272.
Правильный ответ: 272
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.