Загрузка заданий...
Вариант 23 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
Ответ: 1243
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
Ответ: 4
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна 1/32 м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
Ответ: 312.5
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
Ответ: 150
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A1 равна половине площади A0: 1/2 м². Масса одного листа: 120 · 1/2 = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
Ответ: 4800
6
Задание 6
1 балл
Найдите значение выражения $$0,08 \cdot 1,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,08 \cdot 1,75\).
Последовательно выполняем действия (умножение):
Шаг 1: \((0,08) \cdot 1,75 = 0,14\).
Ответ: \(0,14\).
Последовательно выполняем действия (умножение):
Шаг 1: \((0,08) \cdot 1,75 = 0,14\).
Ответ: \(0,14\).
Ответ: 0,14
7
Задание 7
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -8 < a < -7.
Проверим варианты ответа:
1) -a < 8 ⇔ a > -8 — верно.
2) a < -8 ⇔ a < -8 — неверно.
3) -a < 7 ⇔ a > -7 — неверно.
4) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Проверим варианты ответа:
1) -a < 8 ⇔ a > -8 — верно.
2) a < -8 ⇔ a < -8 — неверно.
3) -a < 7 ⇔ a > -7 — неверно.
4) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Задание 8
1 балл
Найдите значение выражения $$(2\sqrt{7})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (2√7)².
Используем свойство степени произведения: (2√7)² = 2² · (√7)².
Получаем 4 · 7 = 28.
Ответ: 28.
Используем свойство степени произведения: (2√7)² = 2² · (√7)².
Получаем 4 · 7 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
9
Уравнения
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 18x + 81 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x<sup>2</sup> + 18x + 81 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 18, c = 81.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 18² - 4·1·81 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = -18 / 2 = -9
Ответ: -9
Коэффициенты: a = 1, b = 18, c = 81.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 18² - 4·1·81 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = -18 / 2 = -9
Ответ: -9
Ответ: -9
10
Задание 10
1 балл
В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, 33 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 150.
Благоприятных исходов: 117 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 117/150 = 0,78.
Ответ: 0,78.
Благоприятных исходов: 117 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 117/150 = 0,78.
Ответ: 0,78.
Ответ: 0,78
11
Задание 11
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Задание 12
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -90 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -90 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-90) + 32 = -130.
Ответ: -130.
t_F = 1,8·(-90) + 32 = -130.
Ответ: -130.
Ответ: -130
13
Задание 13
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 4)(x - 10) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -4 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 10) > 0 получаем решение (-∞;-4) ∪ (10;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задание 14
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 160 и знаменателем 1/2.
За 45 минут пройдёт 5 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 160·(1/2)^5 = 5 мг.
Ответ: 5.
За 45 минут пройдёт 5 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 160·(1/2)^5 = 5 мг.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15
Задание 15
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота совпадает с высотой.\nВысота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.\nПолучаем: 16√3 · √3 / 2 = 16·3 / 2 = 24.\nОтвет: 24.
Ответ: 24
16
Задание 16
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.\nСледовательно, ∠CBD = 83°.\nЛуч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.\nПоэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 54° - 83° = -29°.\nОтвет: -29.
Ответ: -29
17
Задание 17
1 балл
В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 50°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Решение
Угол A равен 180° - 50° = 130°.\nТак как AC — биссектриса, ∠CAD = 130° / 2 = 65°.\nВ треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 65° - 50° = 65°.\nОтвет: 65.
Ответ: 65
18
Задание 18
1 балл
На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок BM короче отрезка CM?
Решение
Точка M делит сторону треугольника в указанном отношении, что видно по клеткам.\nCM = 2·BM.\nОтвет: 2.
Ответ: 2
19
Задание 19
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Задание 20
2 балла
Найдите значение выражения \(41a-11b+15\), если \(\dfrac{4a-9b+3}{9a-4b+3}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Из условия:
\(\dfrac{4a-9b+3}{9a-4b+3}=5\), значит \(4a-9b+3=5(9a-4b+3)\).
Получаем \(4a-9b+3=45a-20b+15\),
откуда \(41a-11b+12=0\), то есть \(41a-11b=-12\).
Тогда \(41a-11b+15=-12+15=3\).
Ответ: 3.
\(\dfrac{4a-9b+3}{9a-4b+3}=5\), значит \(4a-9b+3=5(9a-4b+3)\).
Получаем \(4a-9b+3=45a-20b+15\),
откуда \(41a-11b+12=0\), то есть \(41a-11b=-12\).
Тогда \(41a-11b+15=-12+15=3\).
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
21. Текстовые задачи
2 балла
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 56 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 182 км, скорость первого велосипедиста равна 13 км/ч, скорость второго — 15 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
✏ Выполни решение на бумаге
Пусть встреча произошла через t часов после выезда.
Тогда первый велосипедист был в движении t - 0,9333333333333333 ч, а второй — t ч.
Составим уравнение: 13(t - 0,9333333333333333) + 15t = 182.
Получаем t = 6,933333333333333 ч.
Тогда расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи равно 15·6,933333333333333 = 104 км.
Ответ: 104.
Тогда первый велосипедист был в движении t - 0,9333333333333333 ч, а второй — t ч.
Составим уравнение: 13(t - 0,9333333333333333) + 15t = 182.
Получаем t = 6,933333333333333 ч.
Тогда расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи равно 15·6,933333333333333 = 104 км.
Ответ: 104.
Правильный ответ: 104
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
22. Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=|x|\,(x+2)-4x\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Раскрываем модуль отдельно при x ≥ 0 и x < 0. Получаются две части парабол. Граничные уровни, при которых горизонтальная прямая имеет ровно две общие точки, соответствуют вершинам этих частей: m = -(4-2)²/4 и m = (2+4)²/4. Ответ: -1; 9.
Правильный ответ: -1; 9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
23. Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности, поэтому данное расстояние равно радиусу вписанной окружности r. В этой серии задач диагональ равна 4r: 64 = 4·16. Такое соотношение соответствует ромбу с углами 60° и 120°. Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
24. Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Так как AA₁ и CC₁ — высоты, то A₁C₁ образована точками оснований перпендикуляров к сторонам треугольника. Угол при вершине B у треугольников A₁BC₁ и ABC общий. Кроме того, из перпендикулярности высот следует равенство ещё одной пары углов. Следовательно, треугольники A₁BC₁ и ABC подобны по двум углам.
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
25. Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Радиусы, проведённые в точки касания общих внешних касательных, перпендикулярны этим касательным. Получается прямоугольная конфигурация, из которой расстояние между прямыми AB и CD равно 2√(Rr). Здесь Rr = 20·12, поэтому искомое расстояние равно 8√15. Ответ: 8√15.
Правильный ответ: 8√15
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: