Загрузка заданий...

Вариант 230 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/65 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.

Ответ: 235

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 275/70 R16?

Решение

В маркировке 275/70 R16 ширина шины равна 275 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 275 · 70 / 100 = 192.5 мм. Ответ: 192.5.

Ответ: 192.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/50 R18?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и нового колеса 235/50 R18. Ответ: 6.3.

Ответ: 6.3

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/65 R16 получаем диаметр 685.9 мм. Ответ: 685.9.

Ответ: 685.9

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/65 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и колеса 225/65 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.9.

Ответ: 1.9

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,9 \cdot 10 \cdot 17,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,9 \cdot 10 \cdot 17,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,9) \cdot 10 = 9$.

Шаг 2: $(9) \cdot 17,5 = 157,5$.

Ответ: $157,5$.

Ответ: 157,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\sqrt{10}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\sqrt{10}$ по своему значению совпадает с точкой C.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{99} + \sqrt{99})\sqrt{11}$$

Решение

Вычислим выражение: (√99 + √99)·√11.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √99 = 3√11, √99 = 3√11.

Тогда получаем (3√11 + 3√11)·√11 = 6√11·√11.

Так как √11·√11 = 11, имеем 6·11 = 66.

Ответ: 66.

Ответ: 66

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x - 6y = -20 \\ -6x - 4y = 4 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

4x - 6y = -20

-6x - 4y = 4

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 4.

Получим:

$(4x - 6y = -20) \cdot -6$: -24x + 36y = 120

$(-6x - 4y = 4) \cdot 4$: -24x - 16y = 16

Вычтем второе уравнение из первого:

52y = 104

y = 104 / 52 = 2

Подставим y = 2 в первое уравнение:

4x - 6y = -20

Получаем x = -2.

Ответ: (-2;2)

Ответ: -2;2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события B.

Решение

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события B: 5.

$P=5/8=0,625$.

Ответ: 0,625

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = 2x² + 14x + 24

Б) y = 1/x

В) y = 1x + 1

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 50 Вт, а сила тока равна 5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 50/(5²) = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 1)(x - 4) < 0

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 4) < 0 получаем решение (-1;4). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 25, d = -3.

Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 9.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 9·(25 + 1)/2 = 117.

Ответ: 117.

Ответ: 117

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 9 = $\frac{36}{2}$ = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 73°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 73° / 2 = 36,5°.

Ответ: 36,5.

Ответ: 36,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В ромбе ABCD угол ABC равен 56°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, угол C равен 180° - 56° = 124°.

Диагональ AC биссектрисой угла C.

Поэтому ∠ACD = 124° / 2 = 62°.

Ответ: 62.

Ответ: 62

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 5 и 9, высота равна 5.

S = (5 + 9) / 2 · 5 = 35.

Ответ: 35.

Ответ: 35

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $8a-28b+11$, если $\dfrac{8a-4b+2}{4a-8b+2}=4$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $8a-28b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $8a-4b+2 = 4(4a-8b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $8a-4b+2 = 16a-32b+8$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 8a-28b+6$, откуда $8a-28b = -6$.

Шаг 4. Вычисляем: $8a-28b+11 = -6+11 = 5$.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 10) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 60/x ч, вторым — 60/(x−10) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

60/(x−10) − 60/x = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x−10):

60·x − 60·(x−10) = 3·x·(x−10).

600 = 3·x² − 30·x.

3x² − 30x − 600 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.

x = (30 + 90) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — $\frac{60}{20}$ = 3 ч, второй — $\frac{60}{10}$ = 6 ч.

6 − 3 = 3 = 3. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-7,25; -5; 5 $.

Ответ: $ -7,25; -5; 5 $.

Правильный ответ: -7,25; -5; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 26.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 26 · sin120°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 26 · sin120°.

AB = 26 · sin120°/sin45° (здесь sin120°/sin45° = √$\frac{6}{2}$).

AB = 13√6.

Ответ: 13√6.

Правильный ответ: 13√6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка P лежит на биссектрисе угла C.

⟹ расстояние от P до обеих сторон угла C одинаково.

Шаг 2. Точка P лежит на биссектрисе угла D.

⟹ расстояние от P до обеих сторон угла D одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от P до каждой из прямых BC, CD и AD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 200 ⟹ a+b = 100.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2000/100 = 40.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=100 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=40:

a = 20, b = 80.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 40·20/100 = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.