Загрузка заданий...
Вариант 238 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 175/65 R13?
Решение
В маркировке 175/65 R13 ширина шины равна 175 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 175 · 65 / 100 = 113.75 мм. Ответ: 113.75.
Ответ: 113.75
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R13?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и нового колеса 195/60 R13. Ответ: 14.4.
Ответ: 14.4
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/70 R12 получаем диаметр 549.8 мм. Ответ: 549.8.
Ответ: 549.8
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/65 R13? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и колеса 175/65 R13, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.4.
Ответ: 1.4
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{8}{9} : \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} : \frac{8}{9} : \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) : \frac{8}{9} = \frac{9}{16}\).
Шаг 2: \((\frac{9}{16}) : \frac{1}{5} = \frac{45}{16}\).
Получили дробь \(\frac{45}{16}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,8125\).
Ответ: \(2,8125\).
Ответ: 2,8125
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3 ≈ -3
2) \(\sqrt{2}\) ≈ 1,4142
3) \(\frac{19}{6}\) ≈ 3,1667
4) \(\frac{29}{7}\) ≈ 4,1429
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{30}$$
Решение
Вычислим выражение: 6√6 · 2√5 · √30.
Перемножим коэффициенты: 6 · 2 = 12.
Подкоренные выражения дают: √6 · √5 · √30 = √(6·5·30) = √(900) = 30.
Тогда всё выражение равно 12 · 30 = 360.
Ответ: 360.
Ответ: 360
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(-7x + 4)}{2} - \frac{(-5x)}{4} = 20$$
Решение
Решим уравнение: (-7x + 4)/2 - (-5x)/4 = 20
Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 4, то есть на 4.
Получим:
(-14x + 8) - (-5x + 0) = 80
Приведём подобные слагаемые:
-9x + 8 = 80
Перенесём число в правую часть:
-9x = 72
Разделим обе части на -9:
x = 72 / -9
x = -8
Ответ: -8
Ответ: -8
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 50 чашек: 45 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 5 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{5}{50}\) = 0,1.
Ответ: 0,1.
Ответ: 0,1
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b < 0
2) k > 0, b > 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -76 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = -76 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-76 − 32)/9 = -60.
Ответ: -60.
Ответ: -60
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
4x + 12 ≤ -x + 3
Решение
Решим неравенство: 4x + 12 <= -x + 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x <= -9.
Делим обе части на 5: x <= -1,8.
Значит, x меньше или равно -1,8.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1,8].
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 23 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 23, d = 2.
Найдём 9-й член: a9 = a₁ + (9 - 1)·d = 23 + 8·2 = 39.
Ответ: 39.
Ответ: 39
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 9 · 6 = \(\frac{54}{2}\) = 27.
Ответ: 27.
Ответ: 27
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 42 = 84.
Ответ: 84.
Ответ: 84
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.
Следовательно, угол A равен 25° + 30° = 55°.
Больший угол параллелограмма равен 180° - 55° = 125°.
Ответ: 125.
Ответ: 125
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 10 и 4.
S = 10 · 4 / 2 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2-9x=y,\\5x-9=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части системы.
Шаг 1. \(5x^2-9x=5x-9\).
Шаг 2. Переносим влево: \(5x^2-14x+9=0\).
Шаг 3. Разложим: \((5x-9)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{9}{5}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{9}{5}\): \(y=5\cdot\dfrac{9}{5}-9=0\).
При \(x=1\): \(y=5-9=-4\).
Ответ: \(\left(\dfrac{9}{5};\,0\right);\ (1;\,-4)\).
Правильный ответ: (9/5;0);(1;-4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 16 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 60 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.
Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.
Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−16)) + 1/(2·96).
Шаг 3. Умножаем на 2·(x−16)·x·96 и упрощаем.
С учётом условия получаем x = 64.
Ответ: 64.
Правильный ответ: 64
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5,& x<1,\\-2{,}5x+4,& 1\le x\le 3,\\1{,}5x-8,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-3,5}∪[-1;1,5].
Ответ: {-3,5}∪[-1;1,5].
Правильный ответ: {-3,5}∪[-1;1,5]
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD = 34.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 34 · sin150°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 34 · sin150°.
AB = 34 · sin150°/sin45° (здесь sin150°/sin45° = √\(\frac{2}{2}\)).
AB = 17√2.
Ответ: 17√2.
Правильный ответ: 17√2
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов A и B перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠B = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠B/2 = 90°.
Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 17 : 15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 16.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 17 : 15 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 17:15:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{17}{15}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{17}{15}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·15/(17+15) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 16/(2·sin A) = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.