Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
841
594
2
1189
841
3
297
210
4
594
420
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.
Ответ: 2143
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?
Решение
Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.
Ответ: 4
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.
Ответ: 0.7
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.
Ответ: 21
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,3 \cdot 0,05 + 1,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,3 \cdot 0,05 + 1,75\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,3) \cdot 0,05 = 0,015\).
Шаг 2: \((0,015) + 1,75 = 1,765\).
Ответ: \(1,765\).
Ответ: 1,765
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из чисел расположено между числами -0,5 и \(\frac{1}{8}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{10}\)
2
\(\frac{3}{1}\)
3
\(\frac{23}{8}\)
4
-0,625
Решение
Сравним числа -0,5 и \(\frac{1}{8}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\frac{1}{10}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 5)(\sqrt{6} + 5)$$
Решение
Вычислим выражение: (√6 - 5)(√6 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√6)² - 5² = 6 - 25 = -19.
Ответ: -19.
Ответ: -19
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{4}{x + 2} = 1$$
Решение
Решим уравнение: 4/(x + 2) = 1
Область допустимых значений: x != -2.
Умножим обе части уравнения на x + 2:
4 = 1(x + 2)
Раскроем скобки:
4 = 1x + 2
Перенесём число в левую часть:
2 = 1x
x = 2 / 1
x = 2
Проверка ОДЗ: x = 2, x != -2, условие выполняется.
Ответ: 2
Ответ: 2
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 14 чёрных, 5 жёлтых и 1 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 20.
Благоприятных исходов: 5 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{5}{20}\) = 0,25.
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5 с-1, а центростремительное ускорение равно 100 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 100/(5²) = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 ≤ 16
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² <= 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: [-4;4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 18, d = 2, n = 13.
Сначала найдём последний ряд: a13 = 18 + (13 - 1)·2 = 42.
Сумма первых 13 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(18 + 42)/2 = 390.
Ответ: 390.
Ответ: 390
15Треугольники и их элементы1 балл
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.
x² = 34² - 16² = 1156 - 256 = 900.
Значит, x = 30.
Ответ: 30.
Ответ: 30
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 115°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.
Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 115° / 2 = 57,5°.
Ответ: 57,5.
Ответ: 57,5
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ BD делит угол B на два данных угла.
Угол B равен 65° + 80° = 145°.
Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 145° = 35°.
Ответ: 35.
Ответ: 35
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?
Решение
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M лежит на AC. По клеткам: AM=2, MC=8. MC=4·AM.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2
Боковые стороны любой трапеции равны.
3
Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите уравнение: \((x-3)^4-3(x-3)^2-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-3)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-5)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=5\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Берём только \(t=5\).
Шаг 4. Решаем \((x-3)^2=5\):
\(x-3=\pm\sqrt{5}\Rightarrow x=3\pm\sqrt{5}\).
Ответ: \(3-\sqrt{5};\quad 3+\sqrt{5}\).
Правильный ответ: 3-√5;3+√5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 24% воды, значит сухого вещества 76%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 42 кг сухих фруктов:
42 · 76/100 = 31,92 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 31,92.
x = 31,92 / 0,14 = 228 кг.
Ответ: 228.
Правильный ответ: 228
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 4.
Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 25.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin30°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 25 · sin135°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin30° = 25 · sin135°.
AB = 25 · sin135°/sin30° (здесь sin135°/sin30° = √2).
AB = 25√2.
Ответ: 25√2.
Правильный ответ: 25√2
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
