Загрузка заданий...
Вариант 257 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 235/65 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.
Ответ: 245
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 220/60 R16?
Решение
В маркировке 220/60 R16 ширина шины равна 220 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 220 · 60 / 100 = 132 мм. Ответ: 132.
Ответ: 132
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 255/50 R19?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и нового колеса 255/50 R19. Ответ: 0.3.
Ответ: 0.3
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 235/65 R17 получаем диаметр 737.3 мм. Ответ: 737.3.
Ответ: 737.3
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 245/65 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и колеса 245/65 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.8.
Ответ: 1.8
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$4,5 + \frac{1}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(4,5 + \frac{1}{10}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((4,5) + \frac{1}{10} = 4,6\).
Получили результат \(4,6\).
Ответ: \(4,6\).
Ответ: 4,6
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — неверно.
2) a > -2 ⇔ a > -2 — верно.
3) a + 1 > 0 ⇔ a > -1 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)$$
Решение
Вычислим выражение: (√5 - 4)(√5 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 4² = 5 - 16 = -11.
Ответ: -11.
Ответ: -11
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(6x + 3)}{6} - \frac{(-5x - 4)}{2} + x = -2$$
Решение
Решим уравнение: (6x + 3)/6 - (-5x - 4)/2 + x = -2
Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 2, то есть на 6.
Получим:
(6x + 3) - (-15x - 12) + 6x = -12
Приведём подобные слагаемые:
27x + 15 = -12
Перенесём число в правую часть:
27x = -27
Разделим обе части на 27:
x = -27 / 27
x = -1
Ответ: -1
Ответ: -1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.
\($P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.25\\cdot0.6+0.75\\cdot0.35=0,4125$.\)
Ответ: 0,4125
Ответ: 0,4125
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) y = 2x + 2
Б) y = -0,5x
В) y = 3x + 4
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 10 колец.
Решение
Подставим n = 10 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·10 = 47000.
Ответ: 47 000.
Ответ: 47 000
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
5x - x2 < 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 5x - x² = x(5 - x). Нули: 0 и 5. Верное решение: (-∞;0) ∪ (5;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.
После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 5/16, AB = 80. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 80 · \(\frac{5}{16}\) = 25.
Ответ: 25.
Ответ: 25
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 36° = 54°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 54°.
Ответ: 54.
Ответ: 54
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 35°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 35° = 145°.
Ответ: 145.
Ответ: 145
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 8.
Средняя линия равна 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно: по определению окружности.
2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: делаем замену \(t=\frac{1}{x}\), чтобы свести к квадратному уравнению.
Шаг 1. Обозначим \(t=\frac{1}{x}\). Тогда \(\frac{1}{x^2}=t^2\). Уравнение становится:
\(t^2+4t-12=0\).
Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: \(D=4^2+4\cdot12=16+48=64\), \(\sqrt{D}=8\).
\(t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=\frac{1}{t}\):
Если \(t=2\): \(x=\dfrac{1}{2}\).
Если \(t=-6\): \(x=-\dfrac{1}{6}\).
Шаг 4. Проверяем ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}\).
Правильный ответ: -1/6;1/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 6) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 4 км.
Длина круга = x + 4 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 6 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{6}{60}\)) = 0,9 ч.
Длина круга = (x + 6) · 0,9 км.
Шаг 4. Приравниваем: x + 4 = (x + 6) · 0,9.
Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 14 км/ч.
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{7x-10}{7x^2-10x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=10/7 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=10/7 \), откуда \( k=49/100 \).
Ответ: 49/100.
Правильный ответ: 49/100
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 30, AC = 50, NC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{30}{50}\) = \(\frac{3}{5}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{3}{5}\), то есть BN = 3·BC/5.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 10.
Подставляем: BN = 3·(BN + 10)/5.
5·BN = 3·BN + 3·10.
(5−3)·BN = 30 ⟹ BN = 30/(5−3) = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 100 ⟹ a+b = 50.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·500/50 = 20.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=50 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=20:
a = 10, b = 40.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 20·\(\frac{10}{50}\) = 4.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.