Загрузка заданий...

Вариант 259 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревню Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Полянка	Захарово	Вёсенка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Масловка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Вёсенка, место поворота на другое шоссе — Полянка, конечный пункт — Захарово.

Получаем соответствие: Масловка — 1, Вёсенка — 2, Полянка — 4, Захарово — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Полянка, Захарово, Вёсенка.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Никита с дедушкой от деревни Куровка до села Вятское, если они поедут по шоссе через деревню Марусино?

Решение

От Куровка до Марусино: 5 клеток · 1 км = 5 км.

От Марусино до Вятское: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Итого по шоссе: 5 + 12 = 17 км.

Ответ: 17.

Ответ: 17

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Калиновка до села Ольгино по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 5 км.

Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 13 км.

Ответ: 13.

Ответ: 13

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 15 ч.

В минутах это 80 мин, то есть 80,0 мин.

Ответ: 80,0.

Ответ: 80,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Пирожки	Княжеское	Васильево	Рябиновка
Молоко (1 л)	55	55	53	46
Хлеб (1 батон)	38	30	29	28
Сыр «Российский» (1 кг)	274	266	281	276
Говядина (1 кг)	336	332	335	333
Картофель (1 кг)	23	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Пирожки, селе Княжеское, деревне Васильево и деревне Рябиновка. Серёжа с дедушкой хотят купить 3 л молока, 2 батона хлеба, 2 кг сыра «Российский», 1 кг говядины, 3 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Пирожки: 3·55=165 + 2·38=76 + 1·336=336 + 3·23=69 + 2·274=548 = 1 194

Княжеское: 3·55=165 + 2·30=60 + 1·332=332 + 3·17=51 + 2·266=532 = 1 140

Васильево: 3·53=159 + 2·29=58 + 1·335=335 + 3·29=87 + 2·281=562 = 1 201

Рябиновка: 3·46=138 + 2·28=56 + 1·333=333 + 3·17=51 + 2·276=552 = 1 130

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Рябиновка": 1 130 руб.

Ответ: 1 130.

Ответ: 1130

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$40 \cdot \frac{7}{40} - \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $40 \cdot \frac{7}{40} - \frac{3}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(40) \cdot \frac{7}{40} = 7$.

Шаг 2: $(7) - \frac{3}{10} = 6,7$.

Получили результат $6,7$.

Ответ: $6,7$.

Ответ: 6,7

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a + 3 > 0

a + 3 < 0

$\frac{1}{a} > 0$

a < -4

Решение

По чертежу видно, что -4 < a < -3.

Проверим варианты ответа:

1) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — неверно.

2) a + 3 < 0 ⇔ a < -3 — верно.

3) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

4) a < -4 ⇔ a < -4 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{70}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√7 · 3√10 · √70.

Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.

Подкоренные выражения дают: √7 · √10 · √70 = √(7·10·70) = √(4900) = 70.

Тогда всё выражение равно 15 · 70 = 1050.

Ответ: 1050.

Ответ: 1050

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 11x + 24 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 11x + 24 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 11, c = 24.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 11² - 4·1·24 = 25.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-11 - √25) / 2 = -8

x₂ = (-11 + √25) / 2 = -3

Ответ: -8;-3

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 18 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 22 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{22}{40}$ = 0,55.

Ответ: 0,55.

Ответ: 0,55

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = -1x² + 2x + 3

Б) y = 1.6666666666666667x - 1

В) y = 1/x

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.

Ответ: 271.

Ответ: 271

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

5x - 2 ≥ -7x + 10

(-∞;6]

(-∞;0]

[0;+∞)

[1;+∞)

Решение

Решим неравенство: 5x - 2 >= -7x + 10.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 12x >= 12.

Делим обе части на 12: x >= 1.

Значит, x больше или равно 1.

Этому соответствует промежуток [1;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 6 секунд торможения?

Решение

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 21, d = -4, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6(2·21 + 5·(-4))/2 = 66.

Ответ: 66.

Ответ: 66

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 5, AC = 2. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{2}{5}$ = 0,4.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 37°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 37° = 143°.

Ответ: 143.

Ответ: 143

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 7√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 7√2 · √2 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Диагонали ромба равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.

2) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

3) Неверно: у ромба диагонали не обязаны быть равными.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $7a-37b+20$, если $\dfrac{8a-3b+2}{3a-8b+2}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $7a-37b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $8a-3b+2 = 5(3a-8b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $8a-3b+2 = 15a-40b+10$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 7a-37b+8$, откуда $7a-37b = -8$.

Шаг 4. Вычисляем: $7a-37b+20 = -8+20 = 12$.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 500/100 = 5 ч,

t₂ = 100/50 = 2 ч,

t₃ = 165/55 = 3 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 500 + 100 + 165 = 765 км.

Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 765 / 10 = 76,5 км/ч.

Ответ: 76,5.

Правильный ответ: 76,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 5.

Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 16, BF = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(16² + 12²) = √400 = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).

Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).

Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.

Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 24² = 576, AD·BC = 34·2 = 68.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 13,5.

Ответ: 13,5.

Правильный ответ: 13,5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.