Загрузка заданий...

Вариант 283 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,08 : 0,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,08 : 0,25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,08) : 0,25 = 0,32$.

Ответ: $0,32$.

Ответ: 0,32

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

-a < 3

a + 4 > 0

a < -4

Решение

По чертежу видно, что -4 < a < -3.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) -a < 3 ⇔ a > -3 — неверно.

3) a + 4 > 0 ⇔ a > -4 — верно.

4) a < -4 ⇔ a < -4 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5^{-3} \cdot (5^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 5^(-3) · (5^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^3)^2 = 5^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-3 · 5^6 = 5^3.

Получаем 5^3 = 125.

Ответ: 125.

Ответ: 125

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-9x - 3)}{7} - \frac{(-3x - 2)}{7} + 9x = 8$$

Решение

Решим уравнение: (-9x - 3)/7 - (-3x - 2)/7 + 9x = 8

Домножим обе части на НОК знаменателей 7 и 7, то есть на 7.

Получим:

(-9x - 3) - (-3x - 2) + 63x = 56

Приведём подобные слагаемые:

57x - 1 = 56

Перенесём число в правую часть:

57x = 57

Разделим обе части на 57:

x = 57 / 57

x = 1

Ответ: 1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Костя не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 48 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{48}{50}$ = 0,96.

Ответ: 0,96.

Ответ: 0,96

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) y = 1x

2) y = -1x + 2

3) y = -0,5x - 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 10 колец.

Решение

Подставим n = 10 в формулу C = 6000 + 4100n.

C = 6000 + 4100·10 = 47000.

Ответ: 47 000.

Ответ: 47 000

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 3)(x - 1) ≥ 0

(-∞;-3) ∪ (1;+∞)

[-3;1]

(-∞;-3)

(-∞;-3] ∪ [1;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -3 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 1) >= 0 получаем решение (-∞;-3] ∪ [1;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 21 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 мест, а в пятом ряду 26 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (26 - 24) / (5 - 3) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a3 - (3 - 1)·d = 24 - 2·1 = 22.

Последний ряд: a21 = a₁ + (21 - 1)·d = 22 + 20·1 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 12√3.

Отсюда a / 2 = 12, значит a = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 14, BC = 12, CD = 17. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 14 + 17 - 12 = 19.

Ответ: 19.

Ответ: 19

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 127°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 127° = 53°.

Ответ: 53.

Ответ: 53

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 8 и 2.

Искомое отношение площадей равно (8 / 2)² = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+y=5,\\6x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сложим оба уравнения, чтобы $y$ сократился.

Шаг 1. Складываем уравнения:

$(x^2+y)+(6x^2-y)=5+2\Rightarrow 7x^2=7$.

Шаг 2. Отсюда $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$ из первого уравнения:

$y=5-x^2=5-1=4$ (одинаково для обоих $x$).

Ответ: $(-1;\,4);\ (1;\,4)$.

Правильный ответ: (-1;4);(1;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 1. По течению: x + 1.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):

255/(x − 1) − 255/(x + 1) = 2.

Шаг 3. Умножаем на (x−1)(x+1) = x²−1:

255(x+1) − 255(x−1) = 2(x²−1).

Шаг 4. Левая часть: 255·2·1 = 510. Получаем квадратное уравнение:

2x² − 510 − 2 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 16.

Шаг 6. Проверка: 255/15 = 17 ч, 255/17 = 15 ч, разность 2 ч. ✓

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 6.

Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:

(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.

CD/2 = 24.

Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 47° и 43°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 1. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 47° + 43° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 15 и 1.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 15 и (b-a)/2 = 1 (или наоборот).

a+b = 30, b-a = 2.

b = 16, a = 14.

Ответ: 14; 16.

Правильный ответ: 14; 16

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.