Загрузка заданий...

Вариант 31 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Задание 6 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 + 75 + 62,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,3 + 75 + 62,5$.
Последовательно выполняем действия (сложение, сложение):
Шаг 1: $(0,3) + 75 = 75,3$.
Шаг 2: $(75,3) + 62,5 = 137,8$.
Ответ: $137,8$.

Ответ: 137,8

7 Задание 7 1 балл

Одно из чисел -3,398, $\frac{1}{3}$, $\frac{19}{7}$, $\sqrt{11}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,398

$\frac{1}{3}$

$\frac{19}{7}$

$\sqrt{11}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,398 ≈ -3,398
2) $\frac{1}{3}$ ≈ 0,3333
3) $\frac{19}{7}$ ≈ 2,7143
4) $\sqrt{11}$ ≈ 3,3166
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Задание 8 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{27} + \sqrt{75})\sqrt{3}$$

Решение

Вычислим выражение: (√27 + √75)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √27 = 3√3, √75 = 5√3.
Тогда получаем (3√3 + 5√3)·√3 = 8√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 8·3 = 24.
Ответ: 24.

Ответ: 24

9 Уравнения 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 4x - 21 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x<sup>2</sup> + 4x - 21 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = -21.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 4² - 4·1·-21 = 100.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-4 - √100) / 2 = -7
x₂ = (-4 + √100) / 2 = 3
Ответ: -7;3

Ответ: -7;3

10 Задание 10 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.
$P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.8\\cdot0.15+0.2\\cdot0.9=0,3$.
Ответ: 0,3

Ответ: 0,3

11 Задание 11 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k < 0, b > 0

3) k > 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Задание 12 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 8 с^-1, а центростремительное ускорение равно 448 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 448/(8²) = 7.
Ответ: 7.

Ответ: 7

13 Задание 13 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 7x < 0

x² - 7x > 0

x² - 49 < 0

x² - 49 > 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.

Ответ: 2

14 Задание 14 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем 1/2.
За 40 минут пройдёт 5 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 400·(1/2)^5 = 12,5 мг.
Ответ: 12,5.

Ответ: 12,5

15 Задание 15 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 127°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.\nПоэтому он равен 180° - 127° = 53°.\nОтвет: 53.

Ответ: 53

16 Задание 16 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.\nСледовательно, ∠ACD = 51°.\nУгол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому\n∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:\nугол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.\nПолучаем ∠ABC = 51° + 28° = 79°.\nОтвет: 79.

Ответ: 79

17 Задание 17 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

При угле 45° высота равна половине разности оснований.\nh = (9 - 3) / 2 = 3.\nS = (3 + 9) / 2 · 3 = 18.\nОтвет: 18.

Ответ: 18

18 Задание 18 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.\nПо клеткам основание равно 7, высота равна 4.\nS = 7 · 4 = 28.\nОтвет: 28.

Ответ: 28

19 Задание 19 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Задание 20 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y^2=61,\\15x^2+3y^2=61x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Умножим первое уравнение на 3: $15x^2+3y^2=183$.
По второму: $15x^2+3y^2=61x$.
Значит $183=61x$, откуда $x=3$.
Тогда $5\cdot9+y^2=61\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4$.
Ответ: $(3;-4);\ (3;4)$.

Правильный ответ: (3;-4);(3;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 21. Текстовые задачи 2 балла

Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
Тогда скорость по течению x + 5, против течения x - 5.
Составим уравнение: 32/(x + 5) + 24/(x - 5) = 4.
Подходит x = 15. Проверка: 32/20 = 1,6 ч, 24/10 = 2,4 ч, сумма 4 ч.
Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 22. Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=\dfrac{5/2|x|-1}{|x|-5/2x^2}\]

Определите, при каких значениях k прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

После анализа областей x > 0 и x < 0 график имеет три недостижимых направления для прямых y = kx. Для выбранного параметра a = 5/2 это k = -a², 0, a². Ответ: -25/4; 0; 25/4.

Правильный ответ: -25/4; 0; 25/4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 23. Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 50, BC = 30, CF : DF = 4 : 1.

✏ Выполни решение на бумаге

Длина сечения, параллельного основаниям трапеции, изменяется линейно от одного основания к другому. Так как CF:DF = 4:1, получаем EF = (DF·BC + CF·AD)/(CF+DF) = (1·30 + 4·50)/(4+1) = 46. Ответ: 46.

Правильный ответ: 46

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 24. Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Четырёхугольник ABCD вписанный, поэтому углы, опирающиеся на одну хорду, равны. Из этого получаем равенство пары углов треугольников KAB и KCD. Вторая пара углов также равна как углы, образованные теми же секущими к окружности. Поэтому треугольники KAB и KCD подобны по двум углам.

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 25. Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы. Используя перпендикулярность AD и BE, равенство их длин и свойство биссектрисы, получаем отношения сторон треугольника: √13 : 2√13 : 3√5. Так как общая длина медианы и биссектрисы равна 28 = 4·7, стороны равны 7√13; 14√13; 21√5. Ответ: 7√13; 14√13; 21√5.

Правильный ответ: 7√13; 14√13; 21√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2