Загрузка заданий...

Вариант 312 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 235/65 R17.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.

Ответ: 245

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 220/60 R16?

Решение

В маркировке 220/60 R16 ширина шины равна 220 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 220 · 60 / 100 = 132 мм. Ответ: 132.

Ответ: 132

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 255/50 R19?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и нового колеса 255/50 R19. Ответ: 0.3.

Ответ: 0.3

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 235/65 R17 получаем диаметр 737.3 мм. Ответ: 737.3.

Ответ: 737.3

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 245/65 R17? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и колеса 245/65 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.8.

Ответ: 1.8

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{4}{25} \cdot 1,5 \cdot \frac{2}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{4}{25} \cdot 1,5 \cdot \frac{2}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{4}{25}) \cdot 1,5 = 0,24$.

Шаг 2: $(0,24) \cdot \frac{2}{5} = 0,096$.

Получили результат $0,096$.

Ответ: $0,096$.

Ответ: 0,096

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

1 - a > 0

a - 1 > 0

a - 2 > 0

Решение

По чертежу видно, что 1 < a < 2.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) 1 - a > 0 ⇔ a < 1 — неверно.

3) a - 1 > 0 ⇔ a > 1 — верно.

4) a - 2 > 0 ⇔ a > 2 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{3})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (4√3)².

Используем свойство степени произведения: (4√3)² = 4² · (√3)².

Получаем 16 · 3 = 48.

Ответ: 48.

Ответ: 48

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{5}{x - 8} = 5$$

Решение

Решим уравнение: 5/(x - 8) = 5

Область допустимых значений: x != 8.

Умножим обе части уравнения на x - 8:

5 = 5(x - 8)

Раскроем скобки:

5 = 5x - 40

Перенесём число в левую часть:

45 = 5x

x = 45 / 5

x = 9

Проверка ОДЗ: x = 9, x != 8, условие выполняется.

Ответ: 9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Стас не выучил 38 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 12 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{12}{50}$ = 0,24.

Ответ: 0,24.

Ответ: 0,24

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = 0.3333333333333333x + 2

Б) y = -1x² + 4x - 3

В) y = 1/x

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 4, sinα = 0,231, а S = 5,077.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·5,077/(4·0,231) = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

1x - x² ≥ 0

Решение

Разложим: 1x - x² = x(1 - x). Нули: 0 и 1. Верное решение: [0;1]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 25 мест, а в десятом ряду 29 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (29 - 25) / (10 - 6) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a6 - (6 - 1)·d = 25 - 5·1 = 20.

Последний ряд: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 20 + 13·1 = 33.

Ответ: 33.

Ответ: 33

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 59°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 59° = 31°.

Ответ: 31.

Ответ: 31

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 92°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 92° = 88°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 88° / 2 = 44°.

Ответ: 44.

Ответ: 44

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов параллелограмма равен 61°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы параллелограмма supplementary.

Искомый угол равен 180° - 61° = 119°.

Ответ: 119.

Ответ: 119

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 6.

m = (4 + 6) / 2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².

2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.

3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+y=7,\\2x^2-y=5.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(x^2+y)+(2x^2-y)=7+5\Rightarrow 3x^2=12$.

Шаг 2. $x^2=4\Rightarrow x=\pm2$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=7-x^2=7-4=3$.

Ответ: $(-2;\,3);\ (2;\,3)$.

Правильный ответ: (-2;3);(2;3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 29%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 32 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 32 кг сухих фруктов:

32 · 71/100 = 22,72 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,16·x = 22,72.

x = 22,72 / 0,16 = 142 кг.

Ответ: 142.

Правильный ответ: 142

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{1x-3}{1x^2-3x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=3 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=3 $, откуда $ k=1/9 $.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

Правильный ответ: 1/9

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD = 58.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 58 · sin150°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 58 · sin150°.

AB = 58 · sin150°/sin45° (здесь sin150°/sin45° = √$\frac{2}{2}$).

AB = 29√2.

Ответ: 29√2.

Правильный ответ: 29√2

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 4 = 5.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 5)/2 · 3 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.