Загрузка заданий...
Вариант 330 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
Ответ: 312
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
Решение
Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.
Ответ: 15.4
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
Ответ: 2000
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
Ответ: 16200
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.
Ответ: 65
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,3 : 12,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,3 : 12,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,3) : 12,5 = 0,024\).
Ответ: \(0,024\).
Ответ: 0,024
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -2 до \(\frac{11}{20}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -2 и \(\frac{11}{20}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (\(\frac{1}{10}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2^{3} \cdot (2^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 2^(3) · (2^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^2 = 2^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^3 · 2^4 = 2^7.
Получаем 2^7 = 128.
Ответ: 128.
Ответ: 128
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x - 3y = -57 \\ x - 6y = -15 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
6x - 3y = -57
x - 6y = -15
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на 6.
Получим:
\((6x - 3y = -57) \cdot 1\): 6x - 3y = -57
\((x - 6y = -15) \cdot 6\): 6x - 36y = -90
Вычтем второе уравнение из первого:
33y = 33
y = 33 / 33 = 1
Подставим y = 1 в первое уравнение:
6x - 3y = -57
Получаем x = -9.
Ответ: (-9;1)
Ответ: -9;1
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 40 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 33 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{33}{40}\) = 0,825.
Ответ: 0,825.
Ответ: 0,825
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 0.3333333333333333x + 1
Б) y = -2x² - 10x - 13
В) y = -9/x
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 17 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0001 и U = 17 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·17² / 2 = 0,0145.
Ответ: 0,0145.
Ответ: 0,0145
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 < 36
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² < 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: (-6;6). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?
Решение
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 13, d = 10, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·13 + 4·10)/2 = 165.
Ответ: 165.
Ответ: 165
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.
Решение
Из условия BM = AM = MC.
Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.
Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 66°.
Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·66° = 48°.
Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 48° = 132°.
В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.
Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 132° = 180°.
Отсюда x = 90° - 66° = 24°.
Ответ: 24.
Ответ: 24
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 4√2 = 8√2.
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 8√2 · √2 = 16.
Ответ: 16.
Ответ: 16
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 99°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 99° = 81°.
Ответ: 81.
Ответ: 81
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.
Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-1)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-2t-3=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-1)^2=3\):
\(x-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(1-\sqrt{3};\quad 1+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 1-√3;1+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 13 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 208 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 13) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 208/(x−13) мин, второй — 208/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 8 мин дольше:
208/(x−13) − 208/x = 8.
Шаг 4. Умножаем на x(x−13):
208·x − 208·(x−13) = 8·x·(x−13).
2704 = 8·x² − 104·x.
8x² − 104x − 2704 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.
x = (104 + 312) / (2·8) = 26 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 208/13 = 16 мин, вторая — 208/26 = 8 мин.
16 − 8 = 8 = 8. ✓
Ответ: 26.
Правильный ответ: 26
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{6x+7}{6x^2+7x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-7/6 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-7/6 \), откуда \( k=36/49 \).
Ответ: \(\frac{36}{49}\).
Правильный ответ: 36/49
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 5,25, а AB = 9.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 5,25, AB = 9.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 5,25·AC − 9² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 5,25·AC − 81 = 0.
Положительный корень: AC = 12.
Проверка: D = (12² − 9²)/12 = \(\frac{63}{12}\) = 5,25. ✓
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 220 ⟹ a+b = 110.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2420/110 = 44.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=110 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=44:
a = 22, b = 88.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 44·22/110 = 8,8.
Ответ: 8,8.
Правильный ответ: 8,8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.