Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/60 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/45 R17?
Решение
В маркировке 225/45 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 45% от ширины. H = 225 · 45 / 100 = 101.25 мм. Ответ: 101.25.
Ответ: 101.25
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/40 R18?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и нового колеса 225/40 R18. Ответ: 15.2.
Ответ: 15.2
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/60 R16 получаем диаметр 652.4 мм. Ответ: 652.4.
Ответ: 652.4
5Задание 51 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/40 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и колеса 225/40 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.
Ответ: 2.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,012 \cdot 87,5 : 15$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,012 \cdot 87,5 : 15\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,012) \cdot 87,5 = 1,05\).
Шаг 2: \((1,05) : 15 = 0,07\).
Ответ: \(0,07\).
Ответ: 0,07
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
5 - a < 0
3
-a < -6
4
a - 5 < 0
Решение
По чертежу видно, что 5 < a < 6.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) 5 - a < 0 ⇔ a > 5 — верно.
3) -a < -6 ⇔ a > 6 — неверно.
4) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)$$
Решение
Вычислим выражение: (√5 - 1)(√5 + 1).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 1² = 5 - 1 = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x + y = -44 \\ 2x + y = -23 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
5x + y = -44
2x + y = -23
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на 5.
Получим:
\((5x + y = -44) \cdot 2\): 10x + 2y = -88
\((2x + y = -23) \cdot 5\): 10x + 5y = -115
Вычтем второе уравнение из первого:
-3y = 27
y = 27 / -3 = -9
Подставим y = -9 в первое уравнение:
5x + y = -44
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;-9)
Ответ: -7;-9
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 8 чёрных, 9 жёлтых и 3 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 20.
Благоприятных исходов: 9 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{9}{20}\) = 0,45.
Ответ: 0,45.
Ответ: 0,45
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,05 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,05 = 490.
Ответ: 490.
Ответ: 490
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 5)(x - 6) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -5 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 6) > 0 получаем решение (-∞;-5) ∪ (6;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 25, d = -2.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 13.
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2+y=9,\\8x^2-y=3.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((4x^2+y)+(8x^2-y)=9+3\Rightarrow 12x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-4x^2=9-4=5\).
Ответ: \((-1;\,5);\ (1;\,5)\).
Правильный ответ: (-1;5);(1;5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 204 кг свежих фруктов:
204 · 14/100 = 28,56 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 28,56.
x = 28,56 / 0,84 = 34 кг.
Ответ: 34.
Правильный ответ: 34
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 11.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin30°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 11 · sin120°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin30° = 11 · sin120°.
AB = 11 · sin120°/sin30° (здесь sin120°/sin30° = √3).
AB = 11√3.
Ответ: 11√3.
Правильный ответ: 11√3
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка P равноудалена от K и L
⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.
Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.
Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 24² = 576, AD·BC = 34·2 = 68.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
