Загрузка заданий...
Вариант 358 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
Ответ: 2413
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
Ответ: 2
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
Ответ: 1247.4
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
Ответ: 1250
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,075 + 1,2 + 1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,075 + 1,2 + 1\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,075) + 1,2 = 1,275\).
Шаг 2: \((1,275) + 1 = 2,275\).
Ответ: \(2,275\).
Ответ: 2,275
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -1,87, \(\frac{\sqrt{5}}{2}\), \(\frac{\sqrt{8}}{2}\), \(\frac{18}{5}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -1,87 ≈ -1,87
2) \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) ≈ 1,118
3) \(\frac{\sqrt{8}}{2}\) ≈ 1,4142
4) \(\frac{18}{5}\) ≈ 3,6
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)$$
Решение
Вычислим выражение: (√6 - 1)(√6 + 1).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√6)² - 1² = 6 - 1 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-4}{x - 9} = 4$$
Решение
Решим уравнение: -4/(x - 9) = 4
Область допустимых значений: x != 9.
Умножим обе части уравнения на x - 9:
-4 = 4(x - 9)
Раскроем скобки:
-4 = 4x - 36
Перенесём число в левую часть:
32 = 4x
x = 32 / 4
x = 8
Проверка ОДЗ: x = 8, x != 9, условие выполняется.
Ответ: 8
Ответ: 8
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cap B\).
Решение
Всего исходов: 50. Вероятность события \(\overline{A} \cap B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=8/50=0,16\).
Ответ: 0,16
Ответ: 0,16
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -2x² - 6x + 1
Б) y = 0.8x + 2
В) y = 0.1/x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.
Решение
Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·14 = 62500.
Ответ: 62 500.
Ответ: 62 500
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 8)(x - 8) ≤ 0
Решение
Нули выражения: x = -8 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 8) <= 0 получаем решение [-8;8]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,2 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,2 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.
После 7-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 8-го прыжка уже меньше.
Ответ: 8.
Ответ: 8
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 36, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.
Решение
Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.
Поэтому AM = AC : 2 = 36 : 2 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно √3/2. Найдите сторону треугольника.
Решение
Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.
Для равностороннего треугольника a = 2r√3.
Подставляя r = √\(\frac{3}{2}\), получаем a = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 66°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 66° = 114°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 114° / 2 = 57°.
Ответ: 57.
Ответ: 57
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 7, высота равна 6.
S = 7 · 6 / 2 = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(40a-5b+28\), если \(\dfrac{2a-7b+4}{7a-2b+4}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(40a-5b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(2a-7b+4 = 6(7a-2b+4)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(2a-7b+4 = 42a-12b+24\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 40a-5b+20\), откуда \(40a-5b = -20\).
Шаг 4. Вычисляем: \(40a-5b+28 = -20+28 = 8\).
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 200/x ч, вторым — 200/(x−5) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 2 ч больше:
200/(x−5) − 200/x = 2.
Шаг 4. Умножаем на x(x−5):
200·x − 200·(x−5) = 2·x·(x−5).
1000 = 2·x² − 10·x.
2x² − 10x − 1000 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·2·1000 = 100 + 8000 = 8100, √D = 90.
x = (10 + 90) / (2·2) = 25 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — 200/25 = 8 ч, второй — 200/20 = 10 ч.
10 − 8 = 2 = 2. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 10, DC = 30, AC = 20.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{10}{30}\) = \(\frac{1}{3}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 3.
Одна «часть» = AC / (3+1) = 20 / 4 = 5.
Шаг 3. MC = 3 · 5 = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка M равноудалена от S и T
⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.
Следовательно, MN ⟂ ST. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 60, AC = 80, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 60²/80 = 3600/80.
Шаг 4. CD = AC − AD = 80 − 3600/80 = 35.
Ответ: 35.
Правильный ответ: 35
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.