Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/60 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.
Ответ: 215
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 275/50 R17?
Решение
В маркировке 275/50 R17 ширина шины равна 275 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 275 · 50 / 100 = 137.5 мм. Ответ: 137.5.
Ответ: 137.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/45 R18?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и нового колеса 215/45 R18. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/60 R16 получаем диаметр 652.4 мм. Ответ: 652.4.
Ответ: 652.4
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/60 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и колеса 215/60 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.8.
Ответ: 1.8
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : 2 \cdot \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} : 2 \cdot \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) : 2 = 0,25\).
Шаг 2: \((0,25) \cdot \frac{1}{5} = 0,05\).
Получили результат \(0,05\).
Ответ: \(0,05\).
Ответ: 0,05
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -3,9 до -2,5?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(-\frac{31}{20}\)
2
-3,2
3
-0,3
4
0,08
Решение
Сравним числа -3,9 и -2,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-3,2) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} + 3)$$
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -3.
Получим:
\((-3x - 8y = -35) \cdot -2\): 6x + 16y = 70
\((-2x + 4y = 42) \cdot -3\): 6x - 12y = -126
Вычтем второе уравнение из первого:
28y = 196
y = 196 / 28 = 7
Подставим y = 7 в первое уравнение:
-3x - 8y = -35
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;7)
Ответ: -7;7
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 60 билетов, Саша не выучил 39 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 60.
Благоприятных исходов: 21 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{60}\) = 0,35.
Ответ: 0,35.
Ответ: 0,35
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) y = 2x + 2
2) y = -3x + 4
3) y = -1x + 2
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -90 градусов по шкале Цельсия?
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-4;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 17, q = 3.
За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 17·3^5 = 4131 мг.
Ответ: 4131.
Ответ: 4131
15Треугольники и их элементы1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 68°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.
Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, ∠B = 180° - 68° = 112°.
Ответ: 112.
Ответ: 112
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 18° и 75°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Решение
Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.
Искомый угол равен 180° - 18° - 75° = 87°.
Ответ: 87.
Ответ: 87
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=3: t=(3−1)/(7−1)=\(\frac{1}{3}\). x_A=1+\(\frac{1}{3}\)·3=2... нет: x_A=3, x_B=5. AB=2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
2
Все углы прямоугольника равны.
3
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(23a-37b+53\), если \(\dfrac{7a-5b+8}{5a-7b+8}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(23a-37b\) и подставить.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 51 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 50 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).
Шаг 1. Поезд и пешеход движутся навстречу. Относительная скорость:
Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 50 с, значит его длина:
15 × 50 = 750 м.
Ответ: 750.
Правильный ответ: 750
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -4.
Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -4.
Правильный ответ: -4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 24, а сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,6·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,6 = 24 / 1,6 = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.
Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).
Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке P и CD в точке Q.
Центральная симметрия переводит AB в CD и P в Q (так как O — центр).
Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит BP = DQ. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=36 и R=45.
O₁O₂ = r + R = 81 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(45·36) = 2√1620 = 36√5.
