Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 09.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/70 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.
Ответ: 275
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 195/60 R16?
Решение
В маркировке 195/60 R16 ширина шины равна 195 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 195 · 60 / 100 = 117 мм. Ответ: 117.
Ответ: 117
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/55 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и нового колеса 275/55 R20. Ответ: 7.7.
Ответ: 7.7
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/70 R17 получаем диаметр 802.8 мм. Ответ: 802.8.
Ответ: 802.8
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/70 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и колеса 275/70 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,5 : \frac{2}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,5 : \frac{2}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,5) : \frac{2}{5} = 1,25\).
Получили результат \(1,25\).
Ответ: \(1,25\).
Ответ: 1,25
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-6 - a < 0
2
-7 - a > 0
3
\(\frac{1}{a} > 0\)
4
-a < 7
Решение
По чертежу видно, что -7 < a < -6.
Проверим варианты ответа:
1) -6 - a < 0 ⇔ a > -6 — неверно.
2) -7 - a > 0 ⇔ a < -7 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
4) -a < 7 ⇔ a > -7 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{32} + \sqrt{18})\sqrt{2}$$
У бабушки 50 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 40 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{40}{50}\) = 0,8.
Ответ: 0,8.
Ответ: 0,8
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 3 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 235,2 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 235,2/(9,8·3) = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-5x + 8 > -9x - 12
1
(5;+∞)
2
(-∞;5)
3
(-∞;-1)
4
(-5;+∞)
Решение
Решим неравенство: -5x + 8 > -9x - 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x > -20.
Делим обе части на 4: x > -5.
Значит, x больше -5.
Этому соответствует промежуток (-5;+∞).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 25 мест, а в одиннадцатом ряду 29 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/55 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/70 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/55 + S/70) = 2 / (\(\frac{1}{55}\) + \(\frac{1}{70}\)).
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 2.
Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 16, CD = 30, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 15, полухорда = AB/2 = 8.
R² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289. R = 17.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 15.
d² = R² − 15² = 289 − 225 = 64. d = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 28 + 7... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 21, AB = 28, CD = 35, BC = 7.
