Загрузка заданий...

Вариант 398 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 09.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} + \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = \frac{1}{1}$.

Получили дробь 1.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1$.

Ответ: $1$.

Ответ: 1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -1,83 и 1,125?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{9}{40}$

$-\frac{122}{25}$

3,5

-4,4

Решение

Сравним числа -1,83 и 1,125. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 ($-\frac{9}{40}$) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^3)^2 = 7^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^6 = 7^3.

Получаем 7^3 = 343.

Ответ: 343.

Ответ: 343

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-7}{x - 1} = -1$$

Решение

Решим уравнение: -7/(x - 1) = -1

Область допустимых значений: x != 1.

Умножим обе части уравнения на x - 1:

-7 = -1(x - 1)

Раскроем скобки:

-7 = -1x + 1

Перенесём число в левую часть:

-8 = -1x

x = -8 / -1

x = 8

Проверка ОДЗ: x = 8, x != 1, условие выполняется.

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,05.

Ответ: 0,05

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = -2x - 4

Б) y = -0,5x - 2

В) y = 0,5x + 4

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,6 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,6 = 5 880.

Ответ: 5 880.

Ответ: 5 880

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 9)(x - 8) < 0

(-9;8)

(-∞;-9] ∪ [8;+∞)

(-∞;-9)

(8;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -9 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 8) < 0 получаем решение (-9;8). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 2, n = 11.

Сначала найдём последний ряд: a11 = 16 + (11 - 1)·2 = 36.

Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(16 + 36)/2 = 286.

Ответ: 286.

Ответ: 286

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 36, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.

Решение

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Поэтому AM = AC : 2 = 36 : 2 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = 5, значит a = 2√5.

Площадь квадрата равна a² = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 24°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 24° = 156°.

Ответ: 156.

Ответ: 156

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Любые два равносторонних треугольника подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2-11x=y,\\5x-11=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $5x^2-11x=5x-11$.

Шаг 2. Переносим влево: $5x^2-16x+11=0$.

Шаг 3. Разложим: $(5x-11)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{11}{5}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{11}{5}$: $y=5\cdot\dfrac{11}{5}-11=0$.

При $x=1$: $y=5-11=-6$.

Ответ: $\left(\dfrac{11}{5};\,0\right);\ (1;\,-6)$.

Правильный ответ: (11/5;0);(1;-6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):

77/(x − 4) − 77/(x + 4) = 2.

Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:

77(x+4) − 77(x−4) = 2(x²−16).

Шаг 4. Левая часть: 77·2·4 = 616. Получаем квадратное уравнение:

2x² − 616 − 32 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 18.

Шаг 6. Проверка: $\frac{77}{14}$ = $\frac{11}{2}$ ч, $\frac{77}{22}$ = $\frac{7}{2}$ ч, разность 2 ч. ✓

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1/9 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=-1/9 $, откуда $ k=81 $.

Ответ: 81.

Правильный ответ: 81

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(20² + 15²) = √625 = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.

BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.

S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).

Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):

S(△APB) = S(△CPD). ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 14, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 14²/98 = 196/98.

Шаг 4. CD = AC − AD = 98 − 196/98 = 96.

Ответ: 96.

Правильный ответ: 96

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.