Загрузка заданий...

Вариант 414 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 09.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 3, спальня — 4, кухня — 1.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 6341.

Ответ: 6341

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,04 = 6,16 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.

Нужно элементов: 6,16 / 0,14 = 44.

В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,36 = 12,96 кв. м.

Ответ: 12,96.

Ответ: 12,96

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

Ответ: 1000

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$12,5 : \frac{1}{5} + 87,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $12,5 : \frac{1}{5} + 87,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(12,5) : \frac{1}{5} = 62,5$.

Шаг 2: $(62,5) + 87,5 = 150$.

Получили результат $150$.

Ответ: $150$.

Ответ: 150

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-8}{7}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 3,901, $\sqrt{20}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-8}{7}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

3,901

$\sqrt{20}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -2 и -1.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-8}{7}$ ≈ -1,1429

2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0,866

3) 3,901 ≈ 3,901

4) $\sqrt{20}$ ≈ 4,4721

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}$$

Решение

Вычислим выражение: 4√2 · 2√10 · √20.

Перемножим коэффициенты: 4 · 2 = 8.

Подкоренные выражения дают: √2 · √10 · √20 = √(2·10·20) = √(400) = 20.

Тогда всё выражение равно 8 · 20 = 160.

Ответ: 160.

Ответ: 160

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{8}{x - 3} = -4$$

Решение

Решим уравнение: 8/(x - 3) = -4

Область допустимых значений: x != 3.

Умножим обе части уравнения на x - 3:

8 = -4(x - 3)

Раскроем скобки:

8 = -4x + 12

Перенесём число в левую часть:

-4 = -4x

x = -4 / -4

x = 1

Проверка ОДЗ: x = 1, x != 3, условие выполняется.

Ответ: 1

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 116 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 9 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 9/125 = 0,072.

Ответ: 0,072.

Ответ: 0,072

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 486 Вт, а сила тока равна 9 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 486/(9²) = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

6x - x² > 0

Решение

Разложим: 6x - x² = x(6 - x). Нули: 0 и 6. Верное решение: (0;6). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 17, q = 3.

За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 17·3^5 = 4131 мг.

Ответ: 4131.

Ответ: 4131

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 64°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 64° : 2 = 32°.

Ответ: 32.

Ответ: 32

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

R = 14√3 · √3 / 3 = $\frac{42}{3}$ = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В ромбе ABCD угол ABC равен 48°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, угол C равен 180° - 48° = 132°.

Диагональ AC биссектрисой угла C.

Поэтому ∠ACD = 132° / 2 = 66°.

Ответ: 66.

Ответ: 66

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 6.

Средняя линия равна 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

2) Верно: свойство биссектрисы угла.

3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $41a-34b+33$, если $\dfrac{7a-8b+5}{8a-7b+5}=6$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $41a-34b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-8b+5 = 6(8a-7b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-8b+5 = 48a-42b+30$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 41a-34b+25$, откуда $41a-34b = -25$.

Шаг 4. Вычисляем: $41a-34b+33 = -25+33 = 8$.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 330 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 330/110 = 3 ч,

t₂ = 105/35 = 3 ч,

t₃ = 150/50 = 3 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 330 + 105 + 150 = 585 км.

Шаг 3. Общее время: 3 + 3 + 3 = 9 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 585 / 9 = 65 км/ч.

Ответ: 65.

Правильный ответ: 65

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{4x-5}{4x^2-5x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=5/4 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=5/4 $, откуда $ k=16/25 $.

Ответ: $\frac{16}{25}$.

Правильный ответ: 16/25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 7, AC = 63.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 7 · 63 = 441.

Шаг 3. AB = √441 = 21.

Ответ: 21.

Правильный ответ: 21

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.

По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 13. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 1120.

Ответ: 1120.

Правильный ответ: 1120

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.