Загрузка заданий...
Вариант 445 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 09.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/50 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.
Ответ: 205
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/50 R18?
Решение
В маркировке 205/50 R18 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 205 · 50 / 100 = 102.5 мм. Ответ: 102.5.
Ответ: 102.5
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 12.9.
Ответ: 12.9
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/50 R16 получаем диаметр 621.4 мм. Ответ: 621.4.
Ответ: 621.4
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и колеса 225/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.6.
Ответ: 1.6
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,03 + 0,007$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,03 + 0,007\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,03) + 0,007 = 0,037\).
Ответ: \(0,037\).
Ответ: 0,037
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу -3,3. Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -3,3 по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{10} \cdot 6\sqrt{7} \cdot \sqrt{70}$$
Решение
Вычислим выражение: 6√10 · 6√7 · √70.
Перемножим коэффициенты: 6 · 6 = 36.
Подкоренные выражения дают: √10 · √7 · √70 = √(10·7·70) = √(4900) = 70.
Тогда всё выражение равно 36 · 70 = 2520.
Ответ: 2520.
Ответ: 2520
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x - 7y = 29 \\ -7x + 7y = -56 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-2x - 7y = 29
-7x + 7y = -56
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x - 7y = 29) \cdot -7\): 14x + 49y = -203
\((-7x + 7y = -56) \cdot -2\): 14x - 14y = 112
Вычтем второе уравнение из первого:
63y = -315
y = -315 / 63 = -5
Подставим y = -5 в первое уравнение:
-2x - 7y = 29
Получаем x = 3.
Ответ: (3;-5)
Ответ: 3;-5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 59 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 80.
Благоприятных исходов: 21 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{80}\) = 0,2625.
Ответ: 0,2625.
Ответ: 0,2625
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.
Решение
Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·14 = 62500.
Ответ: 62 500.
Ответ: 62 500
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-8x - 4 > -7x - 6
Решение
Решим неравенство: -8x - 4 > -7x - 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x < -2.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -1: x < 2.
Значит, x меньше 2.
Этому соответствует промежуток (-∞;2).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.
Через 7 минут изменение составит 5·7 = 35° C.
Итоговая температура: -7 - 35 = -42.
Ответ: -42.
Ответ: -42
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 158°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.
Поэтому он равен 180° - 158° = 22°.
Ответ: 22.
Ответ: 22
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 74°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 74° = 106°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 106° / 2 = 53°.
Ответ: 53.
Ответ: 53
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 50°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Решение
Угол A равен 180° - 50° = 130°.
Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 130° / 2 = 65°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 65° - 50° = 65°.
Ответ: 65.
Ответ: 65
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 10, высота равна 5.
S = 10 · 5 / 2 = 25.
Ответ: 25.
Ответ: 25
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+y=7,\\2x^2-y=5.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((x^2+y)+(2x^2-y)=7+5\Rightarrow 3x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=7-x^2=7-4=3\).
Ответ: \((-2;\,3);\ (2;\,3)\).
Правильный ответ: (-2;3);(2;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 16) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/(x−16) мин, второй — 105/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
105/(x−16) − 105/x = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x−16):
105·x − 105·(x−16) = 4·x·(x−16).
1680 = 4·x² − 64·x.
4x² − 64x − 1680 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.
x = (64 + 176) / (2·4) = 30 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = \(\frac{15}{2}\) мин, вторая — 105/30 = \(\frac{7}{2}\) мин.
\(\frac{15}{2}\) − \(\frac{7}{2}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| - 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x - 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x - 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -2.
Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: -2.
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 9, AC = 36, NC = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{9}{36}\) = \(\frac{1}{4}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{1}{4}\), то есть BN = 1·BC/4.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 24.
Подставляем: BN = 1·(BN + 24)/4.
4·BN = 1·BN + 1·24.
(4−1)·BN = 24 ⟹ BN = 24/(4−1) = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов B и C перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠B + ∠C = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠B/2 + ∠C/2 = 90°.
Значит в △M (треугольник при пересечении биссектрис) угол при M равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла B.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до M равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем M — середина AD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 12 · 45 = 540.
AT = √540.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 33 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{15}{4}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 24.
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.