Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/60 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.
Ответ: 245
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 245/60 R18?
Решение
В маркировке 245/60 R18 ширина шины равна 245 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 245 · 60 / 100 = 147 мм. Ответ: 147.
Ответ: 147
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/40 R19?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и нового колеса 275/40 R19. Ответ: 0.8.
Ответ: 0.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/60 R17 получаем диаметр 701.8 мм. Ответ: 701.8.
Ответ: 701.8
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/50 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и колеса 275/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.7.
Ответ: 0.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} + \frac{1}{10} \cdot 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{10} \cdot 0,1\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{10}) \cdot 0,1 = 0,01\).
Шаг 2: \((\frac{1}{2}) + 0,01 = 0,51\).
Получили результат \(0,51\).
Ответ: \(0,51\).
Ответ: 0,51
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
a + 1 > 0
3
-2 - a > 0
4
\(\frac{1}{a} > 0\)
Решение
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — верно.
2) a + 1 > 0 ⇔ a > -1 — неверно.
3) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)$$
Решение
Вычислим выражение: (√6 - 1)(√6 + 1).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√6)² - 1² = 6 - 1 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 9x + 20 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 9x + 20 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 9, c = 20.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 9² - 4·1·20 = 1.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-9 - √1) / 2 = -5
x₂ = (-9 + √1) / 2 = -4
Ответ: -5;-4
Ответ: -5;-4
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 25 билетов, Саша не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 21 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{25}\) = 0,84.
Ответ: 0,84.
Ответ: 0,84
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b < 0
2) k > 0, b > 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 5 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 5 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(5 − 32)/9 = -15.
Ответ: -15.
Ответ: -15
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 49 > 0
1
(-∞;-7] ∪ [7;+∞)
2
(-∞;-7) ∪ (7;+∞)
3
[-7;7]
4
(-7;7)
Решение
Решаем x² - 49 > 0. Нули: x = -7 и x = 7. Верное решение: (-∞;-7) ∪ (7;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2, n = 15.
Сначала найдём последний ряд: a15 = 17 + (15 - 1)·2 = 45.
Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(17 + 45)/2 = 465.
Ответ: 465.
Ответ: 465
15Треугольники и их элементы1 балл
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 22°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Другой острый угол равен 90° - 22° = 68°.
Ответ: 68.
Ответ: 68
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:
Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 30 · 22,5 / 2 = 337,5.
Сторона ромба a = √((\(\frac{30}{2}\))² + (22,\(\frac{5}{2}\))²) = 18,75.
Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.
r = S / (2a) = 337,5 / (2·18,75) = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 15, а угол при основании равен 45°.
Решение
При угле 45° разность оснований равна двум высотам.
Меньшее основание равно 15 - 2·5 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?
Решение
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M лежит на AC. По клеткам: AM=2, MC=8. MC=4·AM.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
2
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
3
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(9a-13b+15\), если \(\dfrac{6a-5b+6}{5a-6b+6}=3\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(9a-13b\) и подставить.
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 50 кг получается раствор с концентрацией 81%:
30·x + 20·y = 50·0,81 = 40,5 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 83%:
(x + y)/2 = 0,83 ⟹ x + y = 1,66 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,66 − x. Подставляем в (1):
30·x + 20·(1,66 − x) = 40,5
30x + 33,2 − 20x = 40,5
10x = 7,3 ⟹ x = 0,73.
y = 1,66 − 0,73 = 0,93.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 20·0,93 = 18,6 кг.
Ответ: 18,6.
Правильный ответ: 18,6
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -5.
Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -5.
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 10, CK = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 10.
Шаг 3. BC = BK + CK = 10 + 12 = 22.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(10 + 22) = 64.
Ответ: 64.
Правильный ответ: 64
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 144, BD = 36. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.
Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 8 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 7 · 8 = 56.
BE = √56 = 2√2.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√2.
