Загрузка заданий...
Вариант 58 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в село. Из деревн Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревню Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.
По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.
1
Задание 1
1 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Населённые пункты | Жуки | Кленовое | Сосенки |
|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.
Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.
Следовательно, ответ: 312.
Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.
Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.
Следовательно, ответ: 312.
Ответ: 312
2
Задание 2
1 балл
Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревне Ёлочки до село Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.
От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.
От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.
Складываем: 64 + 48 = 112 км.
Ответ: 112.
От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.
От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.
Складываем: 64 + 48 = 112 км.
Ответ: 112.
Ответ: 112
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от деревне Ёлочки до село Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 48 км и 64 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.
Ответ: 80.
Значит, катеты равны 48 км и 64 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.
Ответ: 80.
Ответ: 80
4
Задание 4
1 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревне Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?
Решение
По прямой расстояние равно 80 км.
Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Ответ: 120,0
5
Задание 5
1 балл
| Наименование продукта | Ёлочки | Кленовое | Сосенки | Жуки |
|---|---|---|---|---|
| Молоко (1 л) | 47 | 36 | 45 | 40 |
| Хлеб (1 батон) | 31 | 28 | 32 | 25 |
| Сыр «Российский» (1 кг) | 274 | 265 | 264 | 275 |
| Говядина (1 кг) | 297 | 292 | 297 | 301 |
| Картофель (1 кг) | 31 | 17 | 29 | 17 |
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, село Кленовое, деревню Сосенки и деревню Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179
Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073
Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160
Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.
Ответ: 1 073.
Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179
Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073
Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160
Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.
Ответ: 1 073.
Ответ: 1073
6
Задание 6
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{1} - 0,25 - \frac{9}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{1} - 0,25 - \frac{9}{10}\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, вычитание):
Шаг 1: \((\frac{4}{1}) - 0,25 = 3,75\).
Шаг 2: \((3,75) - \frac{9}{10} = 2,85\).
Получили результат \(2,85\).
Ответ: \(2,85\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, вычитание):
Шаг 1: \((\frac{4}{1}) - 0,25 = 3,75\).
Шаг 2: \((3,75) - \frac{9}{10} = 2,85\).
Получили результат \(2,85\).
Ответ: \(2,85\).
Ответ: 2,85
7
Задание 7
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -3 < a < -2.
Проверим варианты ответа:
1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.
2) -3 - a > 0 ⇔ a < -3 — неверно.
3) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — верно.
4) -a < 2 ⇔ a > -2 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Проверим варианты ответа:
1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.
2) -3 - a > 0 ⇔ a < -3 — неверно.
3) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — верно.
4) -a < 2 ⇔ a > -2 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Задание 8
1 балл
Найдите значение выражения $$(5\sqrt{7})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (5√7)².
Используем свойство степени произведения: (5√7)² = 5² · (√7)².
Получаем 25 · 7 = 175.
Ответ: 175.
Используем свойство степени произведения: (5√7)² = 5² · (√7)².
Получаем 25 · 7 = 175.
Ответ: 175.
Ответ: 175
9
Уравнения
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-6}{x + 4} = 3$$
Решение
Решим уравнение: -6/(x + 4) = 3
Область допустимых значений: x != -4.
Умножим обе части уравнения на x + 4:
-6 = 3(x + 4)
Раскроем скобки:
-6 = 3x + 12
Перенесём число в левую часть:
-18 = 3x
x = -18 / 3
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -4, условие выполняется.
Ответ: -6
Область допустимых значений: x != -4.
Умножим обе части уравнения на x + 4:
-6 = 3(x + 4)
Раскроем скобки:
-6 = 3x + 12
Перенесём число в левую часть:
-18 = 3x
x = -18 / 3
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -4, условие выполняется.
Ответ: -6
Ответ: -6
10
Задание 10
1 балл
У бабушки 50 чашек: 21 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 29 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 29/50 = 0,58.
Ответ: 0,58.
Благоприятных исходов: 29 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 29/50 = 0,58.
Ответ: 0,58.
Ответ: 0,58
11
Задание 11
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 1/x
Б) y = -1x² + 2x + 3
В) y = 1.6666666666666667x - 1
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Задание 12
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.
Ответ: 271.
C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.
Ответ: 271.
Ответ: 271
13
Задание 13
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 9)(x - 4) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -9 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 4) <= 0 получаем решение [-9;4]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задание 14
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = 1/3.
Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.
Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.
Ответ: 6
15
Задание 15
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 11, AB = 20. Найдите sin B.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.\nДля угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.\nsin B = AC / AB = 11/20 = 0,55.\nОтвет: 0,55.
Ответ: 0,55
16
Задание 16
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 85°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.\nСледовательно, ∠ACD = 85°.\nУгол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому\n∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:\nугол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.\nПолучаем ∠ABC = 85° + 28° = 113°.\nОтвет: 113.
Ответ: 113
17
Задание 17
1 балл
Периметр ромба равен 28, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Сторона ромба равна 28 / 4 = 7.\nПлощадь ромба равна a²·sin α.\nS = 7² · sin 30° = 7² · 1/2 = 24,5.\nОтвет: 24,5.
Ответ: 24,5
18
Задание 18
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.\nПо клеткам AC = 6.\nСредняя линия равна 6 / 2 = 3.\nОтвет: 3.
Ответ: 3
19
Задание 19
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.
2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.
3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.
Ответ: 2.
2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.
3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Задание 20
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-12}{(x-1)^2-2}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Нужно \((x-1)^2-2<0\Rightarrow (x-1)^2<2\).
Тогда \(1-\sqrt2<x<1+\sqrt2\).
Ответ: \((1-\sqrt2;\ 1+\sqrt2)\).
Тогда \(1-\sqrt2<x<1+\sqrt2\).
Ответ: \((1-\sqrt2;\ 1+\sqrt2)\).
Правильный ответ: (1-√2;1+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
21. Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 3 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — x - 3 л/мин.\nПо условию: 260/(x - 3) - 260/x = 6.\nПодходит x = 13. Проверка: 260/10 = 26 мин, 260/13 = 20 мин.\nОтвет: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
22. Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=|x|\,(x+4)-8x\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Раскрываем модуль отдельно при x ≥ 0 и x < 0. Получаются две части парабол. Граничные уровни, при которых горизонтальная прямая имеет ровно две общие точки, соответствуют вершинам этих частей: m = -(8-4)²/4 и m = (4+8)²/4. Ответ: -4; 36.
Правильный ответ: -4; 36
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
23. Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 61° и 89°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 16.
✏ Выполни решение на бумаге
Угол A = 180° − 61° − 89° = 30°. По теореме синусов BC = 2R·sin A = 2·16·sin30° = 16. Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
24. Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Так как точка M лежит на двух биссектрисах, она равноудалена от соответствующих пар прямых. Объединяя эти равенства расстояний, получаем, что расстояния от точки до всех указанных прямых равны.
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
25. Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 20, BC = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Рассматриваем окружность, касающуюся прямой AB, и хорду CD. Центр окружности лежит на перпендикуляре к AB, проведённом через точку касания E. Используя прямоугольную трапецию и равенство степеней соответствующих точек относительно окружности, получаем расстояние от E до CD. Для AD = 20, BC = 15 оно равно 10. Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: