Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.
Исходящие вызовы
175 мин.
300 мин.
275 мин.
150 мин.
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 1523.
Ответ: 1523
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.
Ответ: 680
3Задание 31 балл
Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?
Решение
По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.
Ответ: 150
4Задание 41 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.
Ответ: 500
5Задание 51 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за трафик
«0»
Нет
1,5 руб. за 1 МБ
«300»
290 руб. за 300 МБ трафика в месяц
1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»
375 руб. за 700 МБ трафика в месяц
0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ
Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?
Решение
Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.
Ответ: 672
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$37,5 \cdot 0,9 \cdot 0,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(37,5 \cdot 0,9 \cdot 0,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((37,5) \cdot 0,9 = 33,75\).
Шаг 2: \((33,75) \cdot 0,5 = 16,875\).
Ответ: \(16,875\).
Ответ: 16,875
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел -2,7, \(\frac{\sqrt{24}}{2}\), \(\frac{\sqrt{27}}{2}\), \(\frac{10}{3}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-2,7
2
\(\frac{\sqrt{24}}{2}\)
3
\(\frac{\sqrt{27}}{2}\)
4
\(\frac{10}{3}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,7 ≈ -2,7
2) \(\frac{\sqrt{24}}{2}\) ≈ 2,4495
3) \(\frac{\sqrt{27}}{2}\) ≈ 2,5981
4) \(\frac{10}{3}\) ≈ 3,3333
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$$
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a > 0, c > 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,02 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,02 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,02 = 196.
Ответ: 196.
Ответ: 196
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
2x - x2 ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 2x - x² = x(2 - x). Нули: 0 и 2. Верное решение: (-∞;0] ∪ [2;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 8, q = 3.
За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 8·3^4 = 648 мг.
Ответ: 648.
Ответ: 648
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 4√2 = 8√2.
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 8√2 · √2 = 16.
Ответ: 16.
Ответ: 16
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов ромба равен 114°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 114° = 66°.
Ответ: 66.
Ответ: 66
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 5 и 9.
m = (5 + 9) / 2 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
В параллелограмме есть два равных угла.
2
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3
Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}6x^2+y=14,\\12x^2-y=4.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4\Rightarrow 18x^2=18\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=14-6x^2=14-6=8\).
Ответ: \((-1;\,8);\ (1;\,8)\).
Правильный ответ: (-1;8);(1;8)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 300/60 = 5 ч,
t₂ = 300/100 = 3 ч,
t₃ = 300/75 = 4 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 300 + 300 + 300 = 900 км.
Шаг 3. Общее время: 5 + 3 + 4 = 12 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 900 / 12 = 75 км/ч.
Ответ: 75.
Правильный ответ: 75
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 7\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 7.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 7.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 7.
Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 7.
Правильный ответ: 7
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·17·(\(\frac{1}{2}\)) = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 80, MD = 64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 80 − 64 = 16.
AM² = 256.
AH = AM² / AD = 256 / 80 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
