Загрузка заданий...

Вариант 7 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

Ответ: 56

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

Ответ: 40

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.

Ответ: 200,0.

Ответ: 200,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

Ответ: 1170

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,8 + \frac{1}{5} + \frac{7}{100}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,8 + \frac{1}{5} + \frac{7}{100}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,8) + \frac{1}{5} = 1$.

Шаг 2: $(1) + \frac{7}{100} = 1,07$.

Получили результат $1,07$.

Ответ: $1,07$.

Ответ: 1,07

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a < -5

a < 4

a - 5 < 0

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.

2) a < 4 ⇔ a < 4 — неверно.

3) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — верно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{60}$$

Решение

Вычислим выражение: 2√6 · 3√10 · √60.

Перемножим коэффициенты: 2 · 3 = 6.

Подкоренные выражения дают: √6 · √10 · √60 = √(6·10·60) = √(3600) = 60.

Тогда всё выражение равно 6 · 60 = 360.

Ответ: 360.

Ответ: 360

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 8x = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 8x = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -8, c = 0.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -8² - 4·1·0 = 64.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (8 - √64) / 2 = 0

x₂ = (8 + √64) / 2 = 8

Ответ: 0;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 18 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 32 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{32}{50}$ = 0,64.

Ответ: 0,64.

Ответ: 0,64

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k > 0, b < 0

3) k < 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 13 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 13 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·13² / 2 = 0,0085.

Ответ: 0,0085.

Ответ: 0,0085

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 1)(x - 6) > 0

[-1;6]

(6;+∞)

(-∞;-1) ∪ (6;+∞)

(-∞;-1)

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 6) > 0 получаем решение (-∞;-1) ∪ (6;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,4, d = 0,1, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 3,9.

Ответ: 3,9.

Ответ: 3,9

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 18, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 110 / 2 = 55.

S = p·r = 55 · 4 = 220.

Ответ: 220.

Ответ: 220

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 26, BD = 30, AB = 7. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 30 / 2 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 8 и 10.

S = 8 · 10 / 2 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-3x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+28$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сокращаем $\sqrt{6-x}$ из обеих частей.

Шаг 1. После сокращения:

$x^2-3x=28$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-3x-28=0\Rightarrow(x-7)(x+4)=0$.

Корни: $x=7$ и $x=-4$.

Шаг 3. ОДЗ: $6-x\ge0\Rightarrow x\le6$. Значит $x=7$ не подходит.

Ответ: $-4$.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 24% воды, значит сухого вещества 76%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 42 кг сухих фруктов:

42 · 76/100 = 31,92 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 31,92.

x = 31,92 / 0,14 = 228 кг.

Ответ: 228.

Правильный ответ: 228

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 6.

Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 15² + (AB/2)² = 15² + 8² = 289. R = 17.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 8 от центра:

(CD/2)² = R² − 8² = 289 − 64 = 225.

CD/2 = 15.

Шаг 3. CD = 2 · 15 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка P равноудалена от K и L

⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.

Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.

Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 4. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 18° + 72° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 6 и 4.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).

a+b = 12, b-a = 8.

b = 10, a = 2.

Ответ: 2; 10.

Правильный ответ: 2; 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.