Вариант 71 — ОГЭ по математике

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 2, кладовая — 3, спальня — 4, кухня — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 2347.

Ответ: 2347

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 14 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

Площадь покрытия гостиной равна 24,96 кв. м.
Площадь одной плитки/доски: 0,2 · 0,8 = 0,16 кв. м.
Нужно элементов: 24,96 / 0,16 = 156.
В одной упаковке 14 штук, значит понадобится 12 упаковок.
Ответ: 12.

Ответ: 12

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 30 клеток.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.
Значит, площадь равна 30 · 0,16 = 4,8 кв. м.
Ответ: 4,8.

Ответ: 4,8

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь первого помещения: 20 кв. м.
Площадь второго помещения: 3,2 кв. м.
Ищем, на сколько процентов первое помещение больше второго: ((20 - 3,2) / 3,2) · 100% = 525%.
Ответ: 525.

Ответ: 525

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:
План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.
План «1000»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 900 руб.
Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.
Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$3,75 : 0,08 + \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $3,75 : 0,08 + \frac{3}{10}$.
Последовательно выполняем действия (деление, сложение):
Шаг 1: $(3,75) : 0,08 = 46,875$.
Шаг 2: $(46,875) + \frac{3}{10} = 47,175$.
Получили результат $47,175$.
Ответ: $47,175$.

Ответ: 47,175

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -0,54 и $\sqrt{8}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

1

4,05

2

4

3

1,875

4

$\frac{16}{5}$

Решение

Сравним числа -0,54 и $\sqrt{8}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (1,875) лежит между этими числами.
Ответ: 3

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{250} + \sqrt{10})\sqrt{10}$$

Решение

Вычислим выражение: (√250 + √10)·√10.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √250 = 5√10, √10 = 1√10.
Тогда получаем (5√10 + 1√10)·√10 = 6√10·√10.
Так как √10·√10 = 10, имеем 6·10 = 60.
Ответ: 60.

Ответ: 60

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 5x - 14 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x<sup>2</sup> + 5x - 14 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 5, c = -14.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 5² - 4·1·-14 = 81.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-5 - √81) / 2 = -7
x₂ = (-5 + √81) / 2 = 2
Ответ: -7;2

Ответ: -7;2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.
$P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.875\\cdot0.15+0.125\\cdot0.4=0,18125$.
Ответ: 0,18125

Ответ: 0,18125

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = 2x² + 14x + 24

Б) y = 1x + 1

В) y = 1/x

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 30 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 2 352 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 2 352/(9,8·30) = 8.
Ответ: 8.

Ответ: 8

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-4x - 2 < x - 7

1

(-∞;1,8)

2

(-∞;-1)

3

(-1;+∞)

4

(1;+∞)

Решение

Решим неравенство: -4x - 2 < x - 7.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x > -5.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -5: x > 1.
Значит, x больше 1.
Этому соответствует промежуток (1;+∞).
Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = 1/2.
Пороговая высота равна 7 см = 0,07 м.
После 7-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 8-го прыжка уже меньше.
Ответ: 8.

Ответ: 8

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = 2/5. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:\nS = 1/2 · AB · BC · sin∠ABC.\nS = 1/2 · 20 · 7 · 2/5 = 280/10 = 28.\nОтвет: 28.

Ответ: 28

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 60°, AB = 12√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

По теореме синусов AB = 2R·sin C.\nСледовательно, R = AB / (2 sin 60°).\nПодстановка даёт R = 12.\nОтвет: 12.

Ответ: 12

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 29° и 82°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.\nИскомый угол равен 180° - 29° - 82° = 69°.\nОтвет: 69.

Ответ: 69

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка CM?

Решение

Точка M делит сторону треугольника в указанном отношении, что видно по клеткам.\nAM = 4·CM.\nОтвет: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

1

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

2

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Пусть $t=(x+2)^2$. Тогда:
$t^2+t-12=0$.
$(t+4)(t-3)=0$, значит $t=3$ или $t=-4$.
Берём $t=3$.
Тогда $(x+2)^2=3$, следовательно, $x=-2\pm\sqrt3$.
Ответ: $-2-\sqrt3;\ -2+\sqrt3$.

Правильный ответ: -2-√3;-2+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Пусть концентрации кислоты в первом и втором растворах равны x и y. Тогда при смешивании всех растворов получаем уравнение: 30x + 42y = 72 · 0.4. Если слить равные массы, средняя концентрация равна 37%, поэтому (x + y) / 2 = 0.37. Решая систему, получаем количество кислоты в втором растворе: 23,1 кг. Ответ: 23,1.

Правильный ответ: 23,1

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-4x+5,& x\ge 1,\\x+3,& x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

<div style="margin:14px 0 18px;"><div style="font-weight:800;margin-bottom:8px">Построенный график функции</div><img src="data:image/svg+xml;base64,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="520" height="360" viewBox="0 0 520 360"><rect width="100%" height="100%" fill="white"/><line x1="44.00" y1="18" x2="44.00" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="109.43" y1="18" x2="109.43" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="174.86" y1="18" x2="174.86" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="240.29" y1="18" x2="240.29" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="305.71" y1="18" x2="305.71" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="371.14" y1="18" x2="371.14" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="436.57" y1="18" x2="436.57" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="502.00" y1="18" x2="502.00" y2="326" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="326.00" x2="502" y2="326.00" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="306.75" x2="502" y2="306.75" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="287.50" x2="502" y2="287.50" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="268.25" x2="502" y2="268.25" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="249.00" x2="502" y2="249.00" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="229.75" x2="502" y2="229.75" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="210.50" x2="502" y2="210.50" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="191.25" x2="502" y2="191.25" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="172.00" x2="502" y2="172.00" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="152.75" x2="502" y2="152.75" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="133.50" x2="502" y2="133.50" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="114.25" x2="502" y2="114.25" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="95.00" x2="502" y2="95.00" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="75.75" x2="502" y2="75.75" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="56.50" x2="502" y2="56.50" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="37.25" x2="502" y2="37.25" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="18.00" x2="502" y2="18.00" stroke="#e7edf5" stroke-width="1"/><line x1="44" y1="172.00" x2="502" y2="172.00" stroke="#111" stroke-width="2"/><line x1="240.29" y1="326" x2="240.29" y2="18" stroke="#111" stroke-width="2"/><polygon points="502,172.00 494,168.00 494,176.00" fill="#111"/><polygon points="240.29,18 236.29,26 244.29,26" fill="#111"/><text x="492" y="188.00" font-family="Arial" font-size="14" fill="#111">x</text><text x="248.29" y="32" font-family="Arial" font-size="14" fill="#111">y</text><line x1="44.00" y1="168.00" x2="44.00" y2="176.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="44.00" y="190.00" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-3</text><line x1="109.43" y1="168.00" x2="109.43" y2="176.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="109.43" y="190.00" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-2</text><line x1="174.86" y1="168.00" x2="174.86" y2="176.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="174.86" y="190.00" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-1</text><line x1="305.71" y1="168.00" x2="305.71" y2="176.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="305.71" y="190.00" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">1</text><line x1="371.14" y1="168.00" x2="371.14" y2="176.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="371.14" y="190.00" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">2</text><line x1="436.57" y1="168.00" x2="436.57" y2="176.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="436.57" y="190.00" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">3</text><line x1="502.00" y1="168.00" x2="502.00" y2="176.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="502.00" y="190.00" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">4</text><line x1="236.29" y1="326.00" x2="244.29" y2="326.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="330.00" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-8</text><line x1="236.29" y1="306.75" x2="244.29" y2="306.75" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="310.75" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-7</text><line x1="236.29" y1="287.50" x2="244.29" y2="287.50" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="291.50" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-6</text><line x1="236.29" y1="268.25" x2="244.29" y2="268.25" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="272.25" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-5</text><line x1="236.29" y1="249.00" x2="244.29" y2="249.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="253.00" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-4</text><line x1="236.29" y1="229.75" x2="244.29" y2="229.75" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="233.75" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-3</text><line x1="236.29" y1="210.50" x2="244.29" y2="210.50" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="214.50" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-2</text><line x1="236.29" y1="191.25" x2="244.29" y2="191.25" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="195.25" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">-1</text><line x1="236.29" y1="152.75" x2="244.29" y2="152.75" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="156.75" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">1</text><line x1="236.29" y1="133.50" x2="244.29" y2="133.50" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="137.50" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">2</text><line x1="236.29" y1="114.25" x2="244.29" y2="114.25" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="118.25" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">3</text><line x1="236.29" y1="95.00" x2="244.29" y2="95.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="99.00" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">4</text><line x1="236.29" y1="75.75" x2="244.29" y2="75.75" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="79.75" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">5</text><line x1="236.29" y1="56.50" x2="244.29" y2="56.50" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="60.50" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">6</text><line x1="236.29" y1="37.25" x2="244.29" y2="37.25" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="41.25" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">7</text><line x1="236.29" y1="18.00" x2="244.29" y2="18.00" stroke="#111" stroke-width="1.6"/><text x="232.29" y="22.00" text-anchor="end" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">8</text><text x="248.29" y="188.00" font-family="Arial" font-size="12" fill="#334155">0</text><polyline fill="none" stroke="#1f2937" stroke-width="3.0" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" points="305.71,133.50 307.68,134.64 309.64,135.74 311.60,136.81 313.57,137.84 315.53,138.84 317.49,139.81 319.45,140.74 321.42,141.63 323.38,142.49 325.34,143.32 327.31,144.11 329.27,144.87 331.23,145.59 333.19,146.27 335.16,146.93 337.12,147.54 339.08,148.13 341.05,148.68 343.01,149.19 344.97,149.67 346.93,150.11 348.90,150.52 350.86,150.90 352.82,151.24 354.79,151.55 356.75,151.82 358.71,152.06 360.67,152.26 362.64,152.42 364.60,152.56 366.56,152.66 368.53,152.72 370.49,152.75 372.45,152.74 374.41,152.70 376.38,152.63 378.34,152.52 380.30,152.37 382.27,152.19 384.23,151.98 386.19,151.73 388.15,151.45 390.12,151.13 392.08,150.78 394.04,150.39 396.01,149.97 397.97,149.51 399.93,149.02 401.89,148.50 403.86,147.94 405.82,147.34 407.78,146.71 409.75,146.05 411.71,145.35 413.67,144.62 415.63,143.85 417.60,143.05 419.56,142.21 421.52,141.34 423.49,140.43 425.45,139.49 427.41,138.51 429.37,137.50 431.34,136.46 433.30,135.38 435.26,134.26 437.23,133.11 439.19,131.93 441.15,130.71 443.11,129.46 445.08,128.17 447.04,126.85 449.00,125.49 450.97,124.10 452.93,122.67 454.89,121.21 456.85,119.72 458.82,118.18 460.78,116.62 462.74,115.02 464.71,113.39 466.67,111.72 468.63,110.01 470.59,108.27 472.56,106.50 474.52,104.69 476.48,102.85 478.45,100.98 480.41,99.06 482.37,97.12 484.33,95.14 486.30,93.12 488.26,91.07 490.22,88.99 492.19,86.87 494.15,84.71 496.11,82.52 498.07,80.30 500.04,78.04 502.00,75.75"/><circle cx="305.71" cy="133.50" r="4.2" fill="#1f2937" stroke="#1f2937" stroke-width="1.4"/><polyline fill="none" stroke="#1f2937" stroke-width="3.0" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" points="44.00,172.00 47.27,171.04 50.54,170.08 53.81,169.11 57.09,168.15 60.36,167.19 63.63,166.23 66.90,165.26 70.17,164.30 73.44,163.34 76.71,162.38 79.99,161.41 83.26,160.45 86.53,159.49 89.80,158.53 93.07,157.56 96.34,156.60 99.61,155.64 102.89,154.68 106.16,153.71 109.43,152.75 112.70,151.79 115.97,150.83 119.24,149.86 122.51,148.90 125.79,147.94 129.06,146.98 132.33,146.01 135.60,145.05 138.87,144.09 142.14,143.13 145.41,142.16 148.69,141.20 151.96,140.24 155.23,139.28 158.50,138.31 161.77,137.35 165.04,136.39 168.31,135.43 171.59,134.46 174.86,133.50 178.13,132.54 181.40,131.58 184.67,130.61 187.94,129.65 191.21,128.69 194.49,127.73 197.76,126.76 201.03,125.80 204.30,124.84 207.57,123.88 210.84,122.91 214.11,121.95 217.39,120.99 220.66,120.03 223.93,119.06 227.20,118.10 230.47,117.14 233.74,116.18 237.01,115.21 240.29,114.25 243.56,113.29 246.83,112.33 250.10,111.36 253.37,110.40 256.64,109.44 259.91,108.48 263.19,107.51 266.46,106.55 269.73,105.59 273.00,104.63 276.27,103.66 279.54,102.70 282.81,101.74 286.09,100.78 289.36,99.81 292.63,98.85 295.90,97.89 299.17,96.93 302.44,95.96 305.71,95.00"/><circle cx="305.71" cy="95.00" r="5.0" fill="white" stroke="#1f2937" stroke-width="2"/></svg>" alt="График функции" style="max-width:100%;height:auto;border:1px solid #dbe4f0;border-radius:16px;background:#fff;display:block;margin:0 auto;"></div>
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {1}∪(2;4).
Ответ: {1}∪(2;4).

Правильный ответ: {1}∪(2;4)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 48, AC = 28.

✏ Выполни решение на бумаге

Так как AB ∥ DC, соответствующие треугольники с вершиной M подобны. AM:MC = AB:DC = 16:48 = 1:3. Значит AC состоит из 4 равных частей, одна часть равна 28/4 = 7. Тогда MC = 3·7 = 21. Ответ: 21.

Правильный ответ: 21

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Проведём радиусы к точкам касания внутренней общей касательной. Эти радиусы перпендикулярны касательной, поэтому они параллельны между собой. Точка пересечения внутренней касательной с линией центров является центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Коэффициент этой гомотетии равен отношению расстояний от этой точки до центров окружностей, то есть r:s. При гомотетии радиусы и диаметры изменяются в том же отношении. Следовательно, диаметры окружностей относятся как r:s.

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы. Используя перпендикулярность AD и BE, равенство их длин и свойство биссектрисы, получаем отношения сторон треугольника: √13 : 2√13 : 3√5. Так как общая длина медианы и биссектрисы равна 32 = 4·8, стороны равны 8√13; 16√13; 24√5. Ответ: 8√13; 16√13; 24√5.

Правильный ответ: 8√13; 16√13; 24√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2