Загрузка заданий...

Вариант 865 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	гараж	баня	жилой дом	яблони
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: гараж — 2, баня — 4, жилой дом — 7, яблони — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: гараж, баня, жилой дом, яблони.

Получаем последовательность: 2473.

Ответ: 2473

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 4 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 4⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь открытого грунта огорода (вне теплицы). Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь огорода равна 120 кв. м, площадь теплицы — 12 кв. м. Площадь открытого грунта: 120 - 12 = 108 кв. м.

Ответ: 108.

Ответ: 108

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью теплицы: (48 - 12) / 12 · 100% = 300%.

Ответ: 300.

Ответ: 300

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	22 000 руб.	20 105 руб.	1,5 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	19 000 руб.	16 000 руб.	4,9 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42105 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 35000 руб.

Разница в начальных расходах: 42105 - 35000 = 7105 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,5 · 4,9 = 7,35 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,4 = 21,56 руб./ч.

Экономия за час: 21,56 - 7,35 = 14,21 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7105 / 14,21 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,025 \cdot 10 : 2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,025 \cdot 10 : 2$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,025) \cdot 10 = 0,25$.

Шаг 2: $(0,25) : 2 = 0,125$.

Ответ: $0,125$.

Ответ: 0,125

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами $\frac{29}{10}$ и $\frac{97}{20}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{3}{1}$

$\frac{139}{40}$

$-\frac{77}{20}$

$\sqrt{2}$

Решение

Сравним числа $\frac{29}{10}$ и $\frac{97}{20}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\frac{139}{40}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{11} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{33}$$

Решение

Вычислим выражение: 6√11 · 6√3 · √33.

Перемножим коэффициенты: 6 · 6 = 36.

Подкоренные выражения дают: √11 · √3 · √33 = √(11·3·33) = √(1089) = 33.

Тогда всё выражение равно 36 · 33 = 1188.

Ответ: 1188.

Ответ: 1188

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{5}{x - 7} = -5$$

Решение

Решим уравнение: 5/(x - 7) = -5

Область допустимых значений: x != 7.

Умножим обе части уравнения на x - 7:

5 = -5(x - 7)

Раскроем скобки:

5 = -5x + 35

Перенесём число в левую часть:

-30 = -5x

x = -30 / -5

x = 6

Проверка ОДЗ: x = 6, x != 7, условие выполняется.

Ответ: 6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.8 и 0.2: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.125, по нижнему 0.875.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.8 · 0.125 = 0.1.

Нижний путь: 0.2 · 0.875 = 0.175.

Складываем: 0.1 + 0.175 = 0.275.

Ответ: 0,275

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -40 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -40 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-40 − 32)/9 = -40.

Ответ: -40.

Ответ: -40

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-2x + 4 ≥ -4x - 9

[-6,5;+∞)

(-∞;0]

[0;+∞)

(-∞;6,5]

Решение

Решим неравенство: -2x + 4 >= -4x - 9.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x >= -13.

Делим обе части на 2: x >= -6,5.

Значит, x больше или равно -6,5.

Этому соответствует промежуток [-6,5;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 5 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.

Через 5 минут изменение составит 5·5 = 25° C.

Итоговая температура: -6 - 25 = -31.

Ответ: -31.

Ответ: -31

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 9√3.

Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (18√3 · √3) / 6 = $\frac{54}{6}$ = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 130°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение

Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.

Следовательно, искомый угол равен 130° / 2 = 65°.

Ответ: 65.

Ответ: 65

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 4.

Средняя линия равна 4 / 2 = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Все углы прямоугольника равны.

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-3)^2<\sqrt{5}(x-3)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-3)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-3)^2-\sqrt{5}(x-3)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-3)\bigl[(x-3)-\sqrt{5}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=3$ и $x=3+\sqrt{5}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(3;\; 3+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (3;3+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение:

80/(x+5) + 23 + 80/(x−5) = 35.

Шаг 3. Переносим стоянку: 80/(x+5) + 80/(x−5) = 12.

Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

80(x−5) + 80(x+5) = 12(x²−25).

Шаг 5. Левая часть: 2·80·x = 160x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 15.

Шаг 7. Проверка: 4 + 23 + 8 = 35. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5,& x<1,\\-2{,}5x+4,& 1\le x\le 3,\\1{,}5x-8,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-3,5}∪[-1;1,5].

Ответ: {-3,5}∪[-1;1,5].

Правильный ответ: {-3,5}∪[-1;1,5]

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 20, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 2 = 20 / 2 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.

Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):

∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.

Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 6.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 6.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 6 + 6 = 12.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 11 · 12 = 132.

Ответ: 132.

Правильный ответ: 132

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.