Загрузка заданий...

Вариант 866 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/60 R18.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.

Ответ: 275

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 285/50 R20?

Решение

В маркировке 285/50 R20 ширина шины равна 285 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 285 · 50 / 100 = 142.5 мм. Ответ: 142.5.

Ответ: 142.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и нового колеса 285/50 R20. Ответ: 17.8.

Ответ: 17.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/60 R18 получаем диаметр 775.2 мм. Ответ: 775.2.

Ответ: 775.2

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и колеса 285/50 R20, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.

Ответ: 2.3

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$1,5 + 62,5 - 0,07$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $1,5 + 62,5 - 0,07$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(1,5) + 62,5 = 64$.

Шаг 2: $(64) - 0,07 = 63,93$.

Ответ: $63,93$.

Ответ: 63,93

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -0,508, 0,827, $\frac{25}{7}$, $\sqrt{28}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,508

0,827

$\frac{25}{7}$

$\sqrt{28}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 5 и 6.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -0,508 ≈ -0,508

2) 0,827 ≈ 0,827

3) $\frac{25}{7}$ ≈ 3,5714

4) $\sqrt{28}$ ≈ 5,2915

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{2})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√2)².

Используем свойство степени произведения: (7√2)² = 7² · (√2)².

Получаем 49 · 2 = 98.

Ответ: 98.

Ответ: 98

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 4} = -3$$

Решение

Решим уравнение: -6/(x - 4) = -3

Область допустимых значений: x != 4.

Умножим обе части уравнения на x - 4:

-6 = -3(x - 4)

Раскроем скобки:

-6 = -3x + 12

Перенесём число в левую часть:

-18 = -3x

x = -18 / -3

x = 6

Проверка ОДЗ: x = 6, x != 4, условие выполняется.

Ответ: 6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.25 и 0.75: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.8, по нижнему 0.9.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.25 · 0.8 = 0.2.

Нижний путь: 0.75 · 0.9 = 0.675.

Складываем: 0.2 + 0.675 = 0.875.

Ответ: 0,875

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -1x

Б) y = -2x² + 4x

В) y = 2/x

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 48 Вт, а сила тока равна 2 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 48/(2²) = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 64 ≤ 0

(-8;8)

(-∞;-8) ∪ (8;+∞)

[-8;8]

(-∞;-8] ∪ [8;+∞)

Решение

Решаем x² - 64 <= 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: [-8;8]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 3, n = 15.

Сначала найдём последний ряд: a15 = 20 + (15 - 1)·3 = 62.

Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(20 + 62)/2 = 615.

Ответ: 615.

Ответ: 615

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 18 · 7 = 126/2 = 63.

Ответ: 63.

Ответ: 63

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 40°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 82°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 82° + 40° = 122°.

Ответ: 122.

Ответ: 122

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 196°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Значит сумма равных углов равна 196°, каждый из них равен 98°.

Искомый угол: 82°.

Ответ: 82.

Ответ: 82

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 3 и 9.

m = (3 + 9) / 2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{x-1}-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-1}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+4t-12=0$.

Шаг 2. Дискриминант: $D=16+48=64$, $\sqrt{D}=8$.

$t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=2$: $x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Если $t=-6$: $x-1=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow x=\dfrac{5}{6}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne1$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{5}{6};\quad \dfrac{3}{2}$.

Правильный ответ: 5/6;3/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 10 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.

Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.

Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·72) + S/(2·(x+10)).

Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·72) + S/(2·(x+10)).

Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·72·x·(x+10):

2·72·(x+10) = x·(x+10) + 72·x.

Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -62x − 1440 = 0.

Шаг 6. D = -62² + 4·1440 = 9604, √D = 98.

x = (−-62 + 98) / 2 = 80 (берём положительный корень).

Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{18}{x},& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 14, AC = 49, NC = 45.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{14}{49}$ = $\frac{2}{7}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{2}{7}$, то есть BN = 2·BC/7.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 45.

Подставляем: BN = 2·(BN + 45)/7.

7·BN = 2·BN + 2·45.

(7−2)·BN = 90 ⟹ BN = 90/(7−2) = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка M равноудалена от S и T

⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.

Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.

Следовательно, MN ⟂ ST. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 77° + 13° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 15 и 4.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 15 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).

a+b = 30, b-a = 8.

b = 19, a = 11.

Ответ: 11; 19.

Правильный ответ: 11; 19

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.