Загрузка заданий...

Вариант 994 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.

Ответ: 195

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/40 R18?

Решение

В маркировке 225/40 R18 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 40% от ширины. H = 225 · 40 / 100 = 90 мм. Ответ: 90.

Ответ: 90

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R15?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 195/60 R15. Ответ: 0.4.

Ответ: 0.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.

Ответ: 614.6

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/70 R14? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 195/70 R14, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.

Ответ: 2.3

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,01 + \frac{1}{40}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,01 + \frac{1}{40}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,01) + \frac{1}{40} = 0,035$.

Получили результат $0,035$.

Ответ: $0,035$.

Ответ: 0,035

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами 1,98 и 3,25?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{0}{1}$

$2\sqrt{2}$

-2,84

$\frac{24}{5}$

Решение

Сравним числа 1,98 и 3,25. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($2\sqrt{2}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 5)(\sqrt{4} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√4 - 5)(√4 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√4)² - 5² = 4 - 25 = -21.

Ответ: -21.

Ответ: -21

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x + 5y = 25 \\ -x - 4y = -29 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-x + 5y = 25

-x - 4y = -29

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -1, а второе — на -1.

Получим:

$(-x + 5y = 25) \cdot -1$: 1x - 5y = -25

$(-x - 4y = -29) \cdot -1$: 1x + 4y = 29

Вычтем второе уравнение из первого:

-9y = -54

y = -54 / -9 = 6

Подставим y = 6 в первое уравнение:

-x + 5y = 25

Получаем x = 5.

Ответ: (5;6)

Ответ: 5;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, 123 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 150.

Благоприятных исходов: 27 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 27/150 = 0,18.

Ответ: 0,18.

Ответ: 0,18

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = 1x + 1

Б) y = 2x² + 14x + 24

В) y = 1/x

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 11 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 2 156 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 2 156/(9,8·11) = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 4)(x - 8) < 0

Решение

Нули выражения: x = -4 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 8) < 0 получаем решение (-4;8). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 21 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 21, d = 2.

Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 21 + 7·2 = 35.

Ответ: 35.

Ответ: 35

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 10, sin ∠ABC = 8/15. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 10 · $\frac{8}{15}$ = 960/30 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 49°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 120° - 49° = 71°.

Ответ: 71.

Ответ: 71

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение

При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.

Следовательно, меньшее основание равно 6 - 4 = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 8 и 4.

Большая диагональ равна 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+3y^2=31,\\2x^2+6y^2=31x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 2.

Шаг 1. Умножаем первое на 2: $2x^2+6y^2=62$.

Шаг 2. По второму: $2x^2+6y^2=31x$.

Шаг 3. Приравниваем правые части:

$62=31x\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Подставляем $x=2$:

$4+3y^2=31\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3$.

Ответ: $(2;\,-3);\ (2;\,3)$.

Правильный ответ: (2;-3);(2;3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 216/x ч, вторым — 216/(x−9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/(x−9) − 216/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−9):

216·x − 216·(x−9) = 4·x·(x−9).

1944 = 4·x² − 36·x.

4x² − 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (36 + 180) / (2·4) = 27 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 216/27 = 8 ч, второй — 216/18 = 12 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -5.

Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -5.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 6. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 6 = 30.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 30 и катетом DH = 24.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(30² − 24²) = √(324) = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 15² = 225, AD·BC = 28·4 = 112.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.