Загрузка заданий...

Вариант 995 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Серёжа летом отдыхает с папой в деревне Пирожки. В среду они собираются съездить на машине в село Княжеское в магазин. Из деревни Пирожки в село Княжеское можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Васильево до деревни Рябиновка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Княжеское. Есть и третий маршрут: в деревню Васильево можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Княжеское, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Серёжа с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Рябиновка	Княжеское	Васильево
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Пирожки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Васильево, место поворота на другое шоссе — Рябиновка, конечный пункт — Княжеское.

Получаем соответствие: Пирожки — 2, Васильево — 1, Рябиновка — 3, Княжеское — 4.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Рябиновка, Княжеское, Васильево.

Следовательно, ответ: 341.

Ответ: 341

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Дима с дедушкой от деревни Шарковка до села Плодородное, если они поедут по шоссе через деревню Рассвет?

Решение

От Шарковка до Рассвет: 5 клеток · 3 км = 15 км.

От Рассвет до Плодородное: 12 клеток · 3 км = 36 км.

Итого по шоссе: 15 + 36 = 51 км.

Ответ: 51.

Ответ: 51

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Калиновка до села Ольгино по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 5 км.

Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 13 км.

Ответ: 13.

Ответ: 13

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Дивная в село Ольгино Ваня с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.

В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.

Ответ: 120,0.

Ответ: 120,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Лягушкино	Вятское	Куровка	Марусино
Молоко (1 л)	41	44	46	52
Хлеб (1 батон)	28	23	26	32
Сыр «Российский» (1 кг)	275	279	280	281
Говядина (1 кг)	315	320	319	309
Картофель (1 кг)	33	21	22	29

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Лягушкино, селе Вятское, деревне Куровка и деревне Марусино. Никита с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Лягушкино: 2·41=82 + 3·28=84 + 2·315=630 + 4·33=132 + 1·275=275 = 1 203

Вятское: 2·44=88 + 3·23=69 + 2·320=640 + 4·21=84 + 1·279=279 = 1 160

Куровка: 2·46=92 + 3·26=78 + 2·319=638 + 4·22=88 + 1·280=280 = 1 176

Марусино: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·309=618 + 4·29=116 + 1·281=281 = 1 215

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Вятское": 1 160 руб.

Ответ: 1 160.

Ответ: 1160

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,09 : 0,09$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,09 : 0,09$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,09) : 0,09 = 1$.

Ответ: $1$.

Ответ: 1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от $-\frac{1}{1}$ до 0,25?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,3

$\frac{9}{5}$

-4,3

-0,76

Решение

Сравним числа $-\frac{1}{1}$ и 0,25. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-0,76) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 3)(\sqrt{12} + 3)$$

Решение

Вычислим выражение: (√12 - 3)(√12 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√12)² - 3² = 12 - 9 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 13x + 40 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 13x + 40 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 13, c = 40.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 13² - 4·1·40 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-13 - √9) / 2 = -8

x₂ = (-13 + √9) / 2 = -5

Ответ: -8;-5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.5 и 0.5: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.8, по нижнему 0.1.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.5 · 0.8 = 0.4.

Нижний путь: 0.5 · 0.1 = 0.05.

Складываем: 0.4 + 0.05 = 0.45.

Ответ: 0,45

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k < 0, b > 0

Б) k < 0, b < 0

В) k > 0, b < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 13-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 13 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(13 − 5) = 238.

Ответ: 238.

Ответ: 238

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 3x − 0,6 < 4,2 \\ x + 2,5 < 3,1 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;0,6). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 25 см = 0,25 м.

После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 48°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение

BH — высота, значит BH ⟂ AC.

Угол между AB и AC равен 48°.

Тогда угол между AB и BH равен 90° - 48° = 42°.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 8√2 = 16√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 16√2 · √2 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 178°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Значит сумма равных углов равна 178°, каждый из них равен 89°.

Искомый угол: 91°.

Ответ: 91.

Ответ: 91

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(3,6)=$\frac{3}{4}$·AB=(4,8). AM=3·BM.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

В параллелограмме есть два равных угла.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x}$, чтобы свести к квадратному уравнению.

Шаг 1. Обозначим $t=\frac{1}{x}$. Тогда $\frac{1}{x^2}=t^2$. Уравнение становится:

$t^2+4t-12=0$.

Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: $D=4^2+4\cdot12=16+48=64$, $\sqrt{D}=8$.

$t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=2$: $x=\dfrac{1}{2}$.

Если $t=-6$: $x=-\dfrac{1}{6}$.

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}$.

Правильный ответ: -1/6;1/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 5) км/ч.

Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:

180/x = 180/(x+5) + 3.

Шаг 3. Переносим 180/(x+5) влево:

180/x − 180/(x+5) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x·(x+5): 3x² + 15x − 900 = 0.

Шаг 5. D = 11025, √D = 105. x = (−15+105)/(2·3) = 15.

Шаг 6. Скорость на обратном пути: 15 + 5 = 20 км/ч.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2-4x-1,& x\ge -3,\\-x-3,& x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (0;2)∪{3}.

Ответ: (0;2)∪{3}.

Правильный ответ: (0;2)∪{3}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 18, DC = 90, AC = 72.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{18}{90}$ = $\frac{1}{5}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 5.

Одна «часть» = AC / (5+1) = 72 / 6 = 12.

Шаг 3. MC = 5 · 12 = 60.

Ответ: 60.

Правильный ответ: 60

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка P равноудалена от K и L

⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.

Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.

Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13 : 12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 13 : 12 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 13:12:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{13}{12}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{13}{12}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·12/(13+12) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 10/(2·sin A) = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.