Геометрия 8 класс · Теория

★ База для ОГЭ

Тригонометрические тождества

Синус, косинус и тангенс — это отношения сторон прямоугольного треугольника. А связывает их главное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. С его помощью по одной величине находят другую. Разберём всё на простых примерах.

Пройти тему целиком

Тригонометрические тождества

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Синус, косинус, тангенс 2 Основное тождество 3 Найти косинус по синусу 4 Найти синус по косинусу 5 Тангенс и тождества с ним 6 Таблица значений 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Синус, косинус, тангенс

Для острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

$\sin\alpha = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$

Названия катетов зависят от угла $\alpha$, который рассматриваем.

Тангенс можно выразить через синус и косинус: $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Раздел 2

Основное тождество

Основное тригонометрическое тождество

Для любого угла $\alpha$ сумма квадратов синуса и косинуса равна единице.

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Запись $\sin^2\alpha$ означает $(\sin\alpha)^2$ — синус в квадрате. Тождество — это прямое следствие теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой $1$.

Пример

Если $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$, то $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9+16}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$. ✓

Раздел 3

Найти косинус по синусу

Из основного тождества выразим косинус (для острого угла он положителен):

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

Пример

$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, $0° < \alpha < 90°$. Тогда $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, значит $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.

Алгоритм: возведи синус в квадрат → вычти из $1$ → извлеки корень.

Раздел 4

Найти синус по косинусу

Симметрично выражаем синус:

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$

Пример

$\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$, $0° < \alpha < 90°$. Тогда $\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$, значит $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$.

Раздел 5

Тангенс и тождества с ним

$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \qquad 1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$

Второе тождество получается, если разделить основное тождество на $\cos^2\alpha$. Оно помогает найти косинус, если известен тангенс.

Пример

$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{3}{4}$. Тогда $\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}$, откуда $\cos^2\alpha = \dfrac{16}{25}$, $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.

Раздел 6

Таблица значений

Эти значения стоит знать наизусть — они часто встречаются в задачах.

$\alpha$	$30°$	$45°$	$60°$
$\sin\alpha$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\alpha$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\mathrm{tg}\,\alpha$	$\dfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$

Заметь: $\sin 30° = \cos 60°$ и наоборот. У дополняющих до $90°$ углов синус и косинус «меняются местами».

Раздел 7

Частые ошибки

Пишут $\sin\alpha + \cos\alpha = 1$. Тождество — для квадратов: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Забывают извлечь корень: находят $\cos^2\alpha = \dfrac{16}{25}$ и пишут это в ответ вместо $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.

Путают, что от чего отнимать: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ (из единицы вычитаем квадрат синуса).

Считают $\sin^2\alpha$ как $\sin(\alpha^2)$. Это $(\sin\alpha)^2$ — сначала синус, потом квадрат.

Берут отрицательный корень для острого угла. При $0° < \alpha < 90°$ и синус, и косинус положительны.

Раздел 8

Шпаргалка

Основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Косинус по синусу: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$.
Синус по косинусу: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$.
Тангенс: $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Через тангенс: $1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.
Для острого угла синус и косинус всегда положительны.

↑ Наверх

Связь с ОГЭ

Эта тема — основа для заданий №15 и 23 ОГЭ

Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.

Тренироваться по теме Тренировать задание №15 ОГЭ

Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества

Синус, косинус, тангенс

Основное тождество

Найти косинус по синусу

Найти синус по косинусу

Тангенс и тождества с ним

Таблица значений

Частые ошибки

Шпаргалка

Эта тема — основа для заданий №15 и 23 ОГЭ

Закрепите тему на практике