Математика 7–9 класс /
Геометрия 8 класс /
Тригонометрические тождества /
Домашняя работа
Домашняя работа · Тригонометрические тождества
Тригонометрические тождества — домашняя работа
Четыре блока: основное тождество, поиск косинуса, поиск синуса и задачи с тангенсом.
Везде угол острый ($0° < \alpha < 90°$). Сначала решите сами, затем откройте решение.
Как выполнять
Инструкция
Основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$, $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$.
$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.
Для острого угла синус и косинус положительны.
Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.
Показать все решения
Скрыть все решения
Нужна теория? Открыть конспект «Тригонометрические тождества» →
Блок 1
Основное тождество база
Проверяем $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
1.1 Верно ли, что $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ и $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$ могут быть у одного угла? (да/нет)
Показать решение $\dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$ — тождество выполняется.Ответ: да
1.2 Чему равно $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ при любом угле $\alpha$?
Показать решение По основному тождеству — всегда $1$.Ответ: $1$
1.3 Известно $\sin^2\alpha = 0{,}36$. Найдите $\cos^2\alpha$.
Показать решение $\cos^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$.Ответ: $0{,}64$
1.4 Верно ли, что $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ и $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$ у одного угла? (да/нет)
Показать решение $\dfrac{9}{25} + \dfrac{144}{169} \ne 1$ — эти значения не подходят одному углу.Ответ: нет
Блок 2
Найти косинус средне
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ (угол острый).
2.1 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$. Найдите $\cos\alpha$.
Показать решение $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.Ответ: $\dfrac{4}{5}$
2.2 $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$. Найдите $\cos\alpha$.
Показать решение $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$, $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$.Ответ: $\dfrac{12}{13}$
2.3 $\sin\alpha = \dfrac{8}{17}$. Найдите $\cos\alpha$.
Показать решение $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{64}{289} = \dfrac{225}{289}$, $\cos\alpha = \dfrac{15}{17}$.Ответ: $\dfrac{15}{17}$
2.4 $\sin\alpha = 0{,}6$. Найдите $\cos\alpha$.
Показать решение $\cos^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, $\cos\alpha = 0{,}8$.Ответ: $0{,}8$
Блок 3
Найти синус средне
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ (угол острый).
3.1 $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$. Найдите $\sin\alpha$.
Показать решение $\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$, $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$.Ответ: $\dfrac{3}{5}$
3.2 $\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$. Найдите $\sin\alpha$.
Показать решение $\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$, $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$.Ответ: $\dfrac{12}{13}$
3.3 $\cos\alpha = \dfrac{15}{17}$. Найдите $\sin\alpha$.
Показать решение $\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{225}{289} = \dfrac{64}{289}$, $\sin\alpha = \dfrac{8}{17}$.Ответ: $\dfrac{8}{17}$
3.4 $\cos\alpha = 0{,}8$. Найдите $\sin\alpha$.
Показать решение $\sin^2\alpha = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$, $\sin\alpha = 0{,}6$.Ответ: $0{,}6$
Блок 4
Задачи с тангенсом сложнее
$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.
4.1 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$. Найдите $\mathrm{tg}\,\alpha$.
Показать решение $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$.Ответ: $\dfrac{3}{4}$
4.2 $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{3}{4}$. Найдите $\cos\alpha$.
Показать решение $\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}$, $\cos^2\alpha = \dfrac{16}{25}$, $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.Ответ: $\dfrac{4}{5}$
4.3 $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$, $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$. Найдите $\mathrm{tg}\,\alpha$.
Показать решение $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{5/13}{12/13} = \dfrac{5}{12}$.Ответ: $\dfrac{5}{12}$
4.4 $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{5}{12}$. Найдите $\cos\alpha$.
Показать решение $\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \dfrac{25}{144} = \dfrac{169}{144}$, $\cos^2\alpha = \dfrac{144}{169}$, $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$.Ответ: $\dfrac{12}{13}$
↑ Наверх
Проверьте себя на тесте
Когда разобрались с домашней работой — пройдите тест с автопроверкой
и посмотрите свой результат.