Здесь разберём не только «как решить», но и самое непонятное: где область решения,
в какую сторону штриховать и когда точка выколотая, а когда закрашенная.
Главная идея: сначала решаем неравенство и получаем что-то
вроде $x>4$ или $x\le 3$. Это и есть ответ — множество чисел. Остаётся правильно
нарисовать его на прямой: поставить точку (выколотую или закрашенную) и заштриховать
нужную сторону. В ОГЭ из четырёх рисунков надо выбрать тот, который совпал с вашим.
Алгоритм
5 шагов для любого неравенства
Решаем неравенство как обычное уравнение: раскрываем скобки, переносим, упрощаем.
Если делим (или умножаем) обе части на отрицательное число — переворачиваем знак неравенства.
Получаем ответ вида $x>a$, $x\ge a$, $x<a$ или $x\le a$. Число $a$ — это граница.
Ставим на прямой точку в $a$: знак со «чёрточкой» ($\ge,\le$) — точка закрашена, строгий ($>,<$) — выколота.
Штрихуем сторону: «$x$ больше» — вправо, «$x$ меньше» — влево. Сомневаетесь — подставьте любое число и проверьте.
Разбираемся отдельно · 1
Выколотая или закрашенная точка?
Точка показывает, входит ли сама граница в ответ.
Закрашенная ● знаки $\le$ и $\ge$ граница входит в ответ
Выколотая ○ знаки $<$ и $>$ граница не входит
Как запомнить: у знаков $\le$ и $\ge$ снизу есть чёрточка — как «полочка», на которой
точка «лежит» и потому закрашена. У строгих $<$ и $>$ чёрточки нет — точка «проваливается»,
остаётся пустой (выколотой).
Разбираемся отдельно · 2
В какую сторону штриховать?
На числовой прямой числа растут слева направо. Поэтому:
$x>a$ или $x\ge a$ — решения справа от $a$ (луч вправо).
$x<a$ или $x\le a$ — решения слева от $a$ (луч влево).
Проверка подстановкой (работает всегда): возьмите любое удобное число из той стороны,
которую заштриховали (например, $0$, если он попал в область), и подставьте в исходное
неравенство. Получилось верное числовое неравенство — сторона выбрана правильно; неверное —
штрихуйте в другую сторону.
Пример 1
Линейное, нестрогое ($\ge$) — закрашенная точка
Решите неравенство $3x-12\ge 0$ и укажите рисунок с решением.
Переносим $-12$ вправо: $3x\ge 12$.
Делим на $3$. Число положительное — знак не меняется: $x\ge 4$.
Знак $\ge$ — нестрогий, значит точка в $4$ закрашенная (4 входит в ответ).
Ответ: $x\ge 4$ — промежуток $[4;+\infty)$. Точка закрашена, луч вправо.
Пример 2
Деление на отрицательное, строгое ($>$) — выколотая точка
Решите неравенство $-2x+6>0$.
Переносим $6$ вправо: $-2x>-6$.
Делим на $-2$. Число отрицательное — знак переворачивается: было $>$, стало $<$. Получаем $x<3$.
Знак $<$ — строгий, значит точка в $3$ выколотая (3 не входит).
«$x$ меньше» — штрихуем влево.
Проверка: возьмём $x=0$ (он слева от 3). $-2\cdot 0+6=6>0$ — верно. Сторона правильная.
Здесь чаще всего ошибаются: делят на $-2$ и забывают перевернуть знак.
Тогда получают $x>3$ и штрихуют не туда. Проверка подстановкой сразу ловит эту ошибку.
Ответ: $x<3$ — промежуток $(-\infty;3)$. Точка выколота, луч влево.
Пример 3
Квадратное — где штриховать: между корнями или снаружи?
Решите неравенство $x^2-x-6\le 0$.
Тут «сторона» определяется не словами «больше/меньше», а параболой.
Разберём по шагам.
Рисуем параболу. Коэффициент при $x^2$ равен $1>0$ — ветви вверх. Парабола пересекает ось в точках $-2$ и $3$.
Нам нужно $x^2-x-6\le 0$, то есть где график не выше оси (ниже или на оси). У параболы ветвями вверх «ниже оси» — это между корнями.
Знак нестрогий ($\le$) — корни входят, точки закрашены.
Если бы знак был «$\ge 0$» (или «$>0$»), мы бы взяли там, где парабола выше оси —
это два луча снаружи корней ($x\le -2$ и $x\ge 3$), а между корнями — пусто.
Ответ: $-2\le x\le 3$ — отрезок $[-2;3]$. Обе точки закрашены.
Шпаргалка
Как выбрать нужный рисунок из четырёх
Когда решение готово, смотрите на картинки по трём признакам:
Что проверить
Как понять по решению
Сколько точек
Линейное — одна; квадратное — две.
Точка закрашена или выколота
$\le,\ge$ — закрашена; $<,>$ — выколота. У каждой границы — отдельно.
Куда штриховка
Луч вправо («больше»), влево («меньше»), отрезок между корнями или два луча наружу.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Делят на отрицательное и не переворачивают знак неравенства — самая частая ошибка.
Путают точки: $\le,\ge$ — закрашена, $<,>$ — выколота. Проверьте по «чёрточке» под знаком.
В квадратном берут не ту область: при ветвях вверх «$\le 0$» — между корнями, «$\ge 0$» — снаружи.
Штрихуют не в ту сторону. Лечится подстановкой пробного числа в исходное неравенство.
В дробно-рациональных неравенствах точки, где знаменатель равен нулю, всегда выколоты (даже при нестрогом знаке).
Что чаще всего проверяют
Форматы задания №13
Решить линейное неравенство и указать рисунок с решением на числовой прямой.
Решить квадратное неравенство — где штриховать: между корнями или снаружи.
Решить дробно-рациональное неравенство (знаменатель создаёт выколотую точку).
Определить тип точки по знаку неравенства: закрашенная ($\le$/$\ge$) или выколотая ($<$/$>$).
Самый быстрый способ проверить себя: подставьте любое число из заштрихованной области в исходное неравенство. Должно получиться верное числовое неравенство.
Потренируйтесь
Закрепите на тренажёре
В каталоге задание №13 собрано по подтипам: линейные, квадратные, рациональные неравенства
и системы. Неравенства каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.