Разбор задания №20 ОГЭ — уравнения и неравенства

Как оценивают. 2 балла — решение верное и обоснованное. 1 балл — верный ход, но есть вычислительная ошибка или не отброшен посторонний корень. 0 — решение неверное или его нет. Поэтому записывайте каждый шаг и обязательно проверяйте область допустимых значений (ОДЗ).

Что чаще всего встречается

• Алгебраические выражения: приводим дроби к общему знаменателю и сокращаем по формулам сокращённого умножения; следим за ОДЗ.
• Уравнения (в т.ч. дробно-рациональные): находим ОДЗ (знаменатель $\ne 0$), приводим к общему знаменателю, решаем числитель, отбрасываем корни, обнуляющие знаменатель.
• Системы уравнений: выражаем одну переменную или используем формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, сводим к одному уравнению.
• Неравенства: метод интервалов. Находим нули, отмечаем на прямой, расставляем знаки; выколотая точка — для строгого знака и для нулей знаменателя.

№20 бывает четырёх типов. Ниже — разобранный пример на каждый: алгебраическое выражение, уравнение, система уравнений и неравенство.

Упрощение выражения

Упростите выражение $\left(\dfrac{1}{a-3}-\dfrac{1}{a+3}\right)\cdot\dfrac{a^2-9}{6}$.

1. ОДЗ: $a\ne 3$ и $a\ne -3$ (знаменатели не равны нулю).
2. Складываем дроби в скобке. Общий знаменатель — $(a-3)(a+3)=a^2-9$: $$\dfrac{1}{a-3}-\dfrac{1}{a+3}=\dfrac{(a+3)-(a-3)}{a^2-9}=\dfrac{6}{a^2-9}.$$
3. Умножаем на $\dfrac{a^2-9}{6}$: $$\dfrac{6}{a^2-9}\cdot\dfrac{a^2-9}{6}=1.$$
4. Множители $a^2-9$ и $6$ сокращаются полностью.

Дробно-рациональное уравнение

Решите уравнение $\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{4}{x+2}=\dfrac{8}{x^2-4}$.

1. ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: $x\ne 2$ и $x\ne -2$ (ведь $x^2-4=(x-2)(x+2)$).
2. Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Умножаем на него обе части: $$x(x+2)-4(x-2)=8.$$
3. Раскрываем скобки: $x^2+2x-4x+8=8$, то есть $x^2-2x+8=8$.
4. Переносим: $x^2-2x=0$, выносим множитель: $x(x-2)=0$. Значит $x=0$ или $x=2$.
5. Проверяем по ОДЗ. Корень $x=2$ обнуляет знаменатель — это посторонний корень, его отбрасываем. Остаётся $x=0$.
6. Проверка: $\dfrac{0}{-2}-\dfrac{4}{2}=0-2=-2$ и $\dfrac{8}{0-4}=-2$ — совпало.

Система с квадратом

Решите систему уравнений $\begin{cases} x+y=5,\\ x^2+y^2=13. \end{cases}$

1. Возводим первое уравнение в квадрат: $(x+y)^2=25$, то есть $x^2+2xy+y^2=25$.
2. Подставляем $x^2+y^2=13$: $13+2xy=25$, откуда $2xy=12$ и $xy=6$.
3. Теперь известны сумма $x+y=5$ и произведение $xy=6$. Значит $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2-5t+6=0$.
4. $D=25-24=1$, $\sqrt{D}=1$, $t=\dfrac{5\pm 1}{2}$: $t=3$ и $t=2$.
5. Получаем две пары: $x=2,\ y=3$ и $x=3,\ y=2$.
6. Проверка: $2+3=5$ и $2^2+3^2=4+9=13$ — верно.

Неравенство методом интервалов

Решите неравенство $\dfrac{x-3}{x+2}\le 0$.

1. ОДЗ: $x+2\ne 0$, то есть $x\ne -2$.
2. Нули: числитель равен нулю при $x=3$ (точка закрашенная, знак нестрогий $\le$), знаменатель — при $x=-2$ (точка выколотая, делить на ноль нельзя).
3. Отмечаем $-2$ и $3$ на прямой и расставляем знаки дроби по интервалам:
   • при $x=-3$: $\dfrac{-6}{-1}=6>0$;
   • при $x=0$: $\dfrac{-3}{2}<0$;
   • при $x=4$: $\dfrac{1}{6}>0$.
4. Нам нужен знак $\le 0$ — это средний интервал, где дробь отрицательна, вместе с включённой точкой $x=3$.

Частые ошибки

Соседние разборы второй части

№20 — самое доступное задание второй части: один-два балла здесь часто решают итоговую оценку. Следующий шаг — текстовая задача №21.