№20 — первое задание второй части. Это уравнение или неравенство «повышенного» уровня.
Здесь важен не только верный ответ, но и полное решение с обоснованием: его проверяет
эксперт. За правильно оформленное задание дают 2 балла.
Как оценивают. 2 балла — решение верное и обоснованное.
1 балл — верный ход, но есть вычислительная ошибка или не отброшен посторонний корень.
0 — решение неверное или его нет. Поэтому записывайте каждый шаг и обязательно
проверяйте область допустимых значений (ОДЗ).
Памятка
Что чаще всего встречается
Алгебраические выражения: приводим дроби к общему знаменателю и сокращаем
по формулам сокращённого умножения; следим за ОДЗ.
Уравнения (в т.ч. дробно-рациональные): находим ОДЗ (знаменатель $\ne 0$),
приводим к общему знаменателю, решаем числитель, отбрасываем корни, обнуляющие знаменатель.
Системы уравнений: выражаем одну переменную или используем формулу
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, сводим к одному уравнению.
Неравенства: метод интервалов. Находим нули, отмечаем на прямой, расставляем знаки;
выколотая точка — для строгого знака и для нулей знаменателя.
№20 бывает четырёх типов. Ниже — разобранный пример на каждый:
алгебраическое выражение, уравнение, система уравнений и неравенство.
Алгоритм
4 шага для любого №20
Опознайте тип. Упростить выражение, решить уравнение, систему или неравенство — от этого зависит всё дальнейшее.
Сразу запишите ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное неотрицательно. Пригодятся они в конце, но забываются, если не выписать сейчас.
Приведите к привычному виду: общий знаменатель, всё в одну часть, разложение на множители.
Решите и вернитесь к ограничениям. Посторонний корень отбрасывайте вслух, назвав причину — это часть решения, а не черновая мысль.
Пример 1 · Алгебраические выражения
Упрощение выражения
Упростите выражение $\left(\dfrac{1}{a-3}-\dfrac{1}{a+3}\right)\cdot\dfrac{a^2-9}{6}$.
ОДЗ: $a\ne 3$ и $a\ne -3$ (знаменатели не равны нулю).
Складываем дроби в скобке. Общий знаменатель — $(a-3)(a+3)=a^2-9$:
$$\dfrac{1}{a-3}-\dfrac{1}{a+3}=\dfrac{(a+3)-(a-3)}{a^2-9}=\dfrac{6}{a^2-9}.$$
Умножаем на $\dfrac{a^2-9}{6}$:
$$\dfrac{6}{a^2-9}\cdot\dfrac{a^2-9}{6}=1.$$
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: $x\ne 2$ и $x\ne -2$ (ведь $x^2-4=(x-2)(x+2)$).
Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Умножаем на него обе части:
$$x(x+2)-4(x-2)=8.$$
Раскрываем скобки: $x^2+2x-4x+8=8$, то есть $x^2-2x+8=8$.
Переносим: $x^2-2x=0$, выносим множитель: $x(x-2)=0$. Значит $x=0$ или $x=2$.
Проверяем по ОДЗ. Корень $x=2$ обнуляет знаменатель — это посторонний корень,
его отбрасываем. Остаётся $x=0$.
Проверка: $\dfrac{0}{-2}-\dfrac{4}{2}=0-2=-2$ и $\dfrac{8}{0-4}=-2$ — совпало.
Ответ: 0.
Главная ошибка здесь — забыть про ОДЗ и записать в ответ оба корня.
Корень $x=2$ обязательно отбрасывают.
Пример 3 · Системы уравнений
Система с квадратом
Решите систему уравнений
$\begin{cases} x+y=5,\\ x^2+y^2=13. \end{cases}$
Возводим первое уравнение в квадрат: $(x+y)^2=25$, то есть $x^2+2xy+y^2=25$.
Подставляем $x^2+y^2=13$: $13+2xy=25$, откуда $2xy=12$ и $xy=6$.
Теперь известны сумма $x+y=5$ и произведение $xy=6$. Значит $x$ и $y$ — корни уравнения
$t^2-5t+6=0$.
$D=25-24=1$, $\sqrt{D}=1$, $t=\dfrac{5\pm 1}{2}$: $t=3$ и $t=2$.
Получаем две пары: $x=2,\ y=3$ и $x=3,\ y=2$.
Проверка: $2+3=5$ и $2^2+3^2=4+9=13$ — верно.
Ответ: (2; 3) и (3; 2).
Пример 4 · Неравенства
Неравенство методом интервалов
Решите неравенство $\dfrac{x-3}{x+2}\le 0$.
ОДЗ: $x+2\ne 0$, то есть $x\ne -2$.
Нули: числитель равен нулю при $x=3$ (точка закрашенная, знак нестрогий $\le$),
знаменатель — при $x=-2$ (точка выколотая, делить на ноль нельзя).
Отмечаем $-2$ и $3$ на прямой и расставляем знаки дроби по интервалам:
при $x=-3$: $\dfrac{-6}{-1}=6>0$;
при $x=0$: $\dfrac{-3}{2}<0$;
при $x=4$: $\dfrac{1}{6}>0$.
Нам нужен знак $\le 0$ — это средний интервал, где дробь отрицательна, вместе с включённой
точкой $x=3$.
Ответ: $-2 < x \le 3$, то есть промежуток $(-2;\,3]$.
Проверь себя
Как убедиться, что ответ верный
Подставьте корень в исходное уравнение — в то, что дано, а не в преобразованное. Ошибка обычно прячется как раз в преобразованиях.
Сверьтесь с ограничениями. Корень, обращающий знаменатель в нуль, — посторонний, каким бы верным он ни выглядел.
Пару из системы подставьте в оба уравнения, а не в то, из которого её нашли.
В неравенстве возьмите по числу из каждого промежутка и проверьте знак.
Что видно по ответу
Где искать ошибку
Корень не подходит в исходное уравнение
Ошибка в преобразованиях, а не в вычислении корней
Оба корня «подходят», но один обнуляет знаменатель
Забыто ограничение на знаменатель
В неравенстве подходят любые числа
Потерян знак при умножении на отрицательное
На что обратить внимание
Частые ошибки
Не выписали ОДЗ и оставили посторонний корень — теряют балл даже при верном ходе.
При умножении на знаменатель забывают умножить каждое слагаемое.
В неравенствах путают строгий и нестрогий знак, выколотую и закрашенную точку.
Записывают только ответ без решения — за это эксперт ставит 0 баллов.
Чтобы дали два балла
Как записать решение №20
Здесь нет чертежа и слов — есть цепочка преобразований. Эксперт должен пройти по ней глазами и ни разу не спросить «а это откуда?».
Пишите преобразования подряд, каждое равенство с новой строки. Пропущенный шаг эксперт не додумывает за вас.
В дробно-рациональном уравнении сразу отметьте, при каких значениях знаменатель обращается в нуль, а в конце скажите, какой корень и почему отбрасываете.
Решили неравенство методом интервалов — нарисуйте прямую со знаками. Это часть решения, а не черновик.
Последняя строка — «Ответ:» и сам ответ в нужном виде: числа или промежуток.
Полный чек-лист — как оформлять вторую часть: что писать, как обосновывать и почему верный ответ без решения дают не всегда.
Потренируйтесь
Решить №20 с проверкой
Разбор прочитан — дальше решает рука. В тренажёре второй части задание №20 разобрано по шагам, с подсказками и проверкой записи.