Разбор задания №21 ОГЭ — текстовая задача

Универсальный план. 1) Обозначить за $x$ искомую величину. 2) Заполнить таблицу величин. 3) Составить уравнение по условию. 4) Решить и выбрать подходящий по смыслу корень (скорость и время не бывают отрицательными). 5) Записать ответ на вопрос задачи.

Базовые формулы

• Движение: $S=v\cdot t$, отсюда $t=\dfrac{S}{v}$. По течению скорость $v+v_{теч}$, против течения $v-v_{теч}$.
• Работа: $A=p\cdot t$, где $p$ — производительность. Совместная производительность — сумма производительностей.
• Проценты: $p\%$ от числа $a$ — это $\dfrac{p}{100}\cdot a$.

В №21 встречается пять типов текстовых задач. Ниже — разобранный пример на каждый: движение по прямой, средняя скорость, движение по воде, работа и смеси.

Туда и обратно с разной скоростью

Автомобиль проехал из города A в город B расстояние 120 км и вернулся обратно. На обратном пути он ехал на 20 км/ч быстрее и затратил на 1 час меньше. Найдите скорость автомобиля на пути из A в B.

1. Пусть скорость на пути из A в B — $x$ км/ч (искомое), $x>0$. Тогда обратно скорость $x+20$.
2. Заполняем таблицу (время $=\dfrac{S}{v}$):

   	Путь $S$, км	Скорость $v$, км/ч	Время $t$, ч
   Туда (A→B)	120	$x$	$\dfrac{120}{x}$
   Обратно (B→A)	120	$x+20$	$\dfrac{120}{x+20}$

3. Обратный путь на 1 час короче: $\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+20}=1.$
4. Умножаем на $x(x+20)$: $120(x+20)-120x=x(x+20).$
5. $2400=x^2+20x$, то есть $x^2+20x-2400=0.$
6. $D=20^2+4\cdot 2400=400+9600=10000$, $\sqrt{D}=100$. $x=\dfrac{-20\pm 100}{2}$: корни $x=40$ и $x=-60<0$ (отбрасываем).
7. Проверка: туда $120:40=3$ ч, обратно $120:60=2$ ч, разница $1$ ч — верно.

Средняя скорость — не среднее арифметическое

Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

1. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не полусумма скоростей.
2. Пусть каждая половина пути равна $S$ км. Время первой половины $\dfrac{S}{60}$, второй — $\dfrac{S}{40}$.
3. $v_{ср}=\dfrac{2S}{\dfrac{S}{60}+\dfrac{S}{40}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{40}}$ (длина $S$ сокращается).
4. $\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{40}=\dfrac{2}{120}+\dfrac{3}{120}=\dfrac{5}{120}=\dfrac{1}{24}.$
5. $v_{ср}=2:\dfrac{1}{24}=48$ км/ч.

Задача на движение по реке

Теплоход проходит по течению реки 80 км и против течения тоже 80 км, затратив на весь путь 9 часов. Скорость течения равна 2 км/ч. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде.

1. Пусть собственная скорость теплохода — $x$ км/ч (это и есть искомое). Тогда по течению скорость $x+2$, против течения $x-2$. По смыслу $x>2$.
2. Заполняем таблицу (время $=\dfrac{S}{v}$):

   	Путь $S$, км	Скорость $v$, км/ч	Время $t$, ч
   По течению	80	$x+2$	$\dfrac{80}{x+2}$
   Против течения	80	$x-2$	$\dfrac{80}{x-2}$

3. Всё время в пути — 9 часов: $\dfrac{80}{x+2}+\dfrac{80}{x-2}=9.$
4. Умножаем на $(x+2)(x-2)=x^2-4$: $80(x-2)+80(x+2)=9(x^2-4).$
5. Раскрываем: $80x-160+80x+160=9x^2-36$, то есть $160x=9x^2-36$.
6. Приводим к квадратному: $9x^2-160x-36=0$. Дискриминант $D=160^2+4\cdot 9\cdot 36=25600+1296=26896$, $\sqrt{D}=164$.
7. $x=\dfrac{160\pm 164}{18}$. Корни: $x=18$ и $x=-\dfrac{4}{18}<0$. Отрицательный не подходит.
8. Проверка: по течению $80:20=4$ ч, против течения $80:16=5$ ч, всего $4+5=9$ ч — верно.

Совместная работа двух мастеров

Первый мастер выполняет заказ на 6 часов быстрее второго. Работая вместе, они выполнили заказ за 4 часа. За сколько часов выполнит этот заказ второй мастер, работая один?

1. Весь заказ примем за $1$. Пусть второй (более медленный) делает его за $x$ часов, $x>6$. Тогда первый — за $x-6$ часов.
2. Производительности (часть заказа за час): второй $\dfrac{1}{x}$, первый $\dfrac{1}{x-6}$. Вместе они сделали заказ за 4 часа, значит $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-6}=\dfrac{1}{4}.$
3. Умножаем на $4x(x-6)$: $4(x-6)+4x=x(x-6).$
4. $8x-24=x^2-6x$, то есть $x^2-14x+24=0.$
5. $D=14^2-4\cdot 24=196-96=100$, $\sqrt{D}=10$. $x=\dfrac{14\pm 10}{2}$: корни $x=12$ и $x=2$.
6. По смыслу $x>6$ (иначе у первого время отрицательное), поэтому $x=2$ не подходит. Остаётся $x=12$.
7. Проверка: $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$ — вместе за 4 часа, верно.

Сколько каждого сплава взять

Имеются два сплава с содержанием меди 10% и 40%. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 12 кг нового сплава с содержанием меди 30%?

1. Пусть взяли $x$ кг первого сплава (10% меди). Тогда второго — $(12-x)$ кг, где $0<x<12$.
2. Считаем «чистую медь». В первом сплаве её $0{,}1x$ кг, во втором $0{,}4(12-x)$ кг, в новом сплаве $0{,}3\cdot 12=3{,}6$ кг.
3. Меди не убавится и не прибавится: $0{,}1x+0{,}4(12-x)=3{,}6.$
4. $0{,}1x+4{,}8-0{,}4x=3{,}6$, то есть $-0{,}3x=-1{,}2$, откуда $x=4$.
5. Значит первого сплава $4$ кг, второго $12-4=8$ кг.
6. Проверка: $0{,}1\cdot 4+0{,}4\cdot 8=0{,}4+3{,}2=3{,}6$ кг меди — это $30\%$ от 12 кг. Верно.

Частые ошибки

Соседние разборы второй части