Разбор · Задание №25 ОГЭ · Геометрия со «звёздочкой»
Разбор задания №25 ОГЭ — самая сложная геометрия
№25 — заключительное и самое трудное задание. Обычно нужно найти величину, но путь к ней
не виден сразу: помогает заметить равнобедренный треугольник, подобие или равные углы.
За полное обоснованное решение — 2 балла.
Задание 25 — одно из самых сложных в ОГЭ. Его не обязательно
решать всем, но оно помогает получить высокий балл.
Кому стоит разбирать задание 25
Если цель — оценка «4» или «5».
Если первая часть (задания 1–19) уже решается уверенно.
Стратегия. Даже если не видите всё решение целиком, начните
отмечать на чертеже равные углы и стороны. Часто «зацепка» — пара накрест лежащих углов
при параллельных прямых, которая превращает треугольник в равнобедренный.
В №25 встречаются две разновидности: задача на треугольники
и четырёхугольники и задача на окружность (часто — комбинация многоугольника и окружности).
Разберём по примеру на каждую.
Пример 1 · Треугольники и четырёхугольники
Биссектриса в параллелограмме
В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$.
Известно, что $BK=5$ и $KC=3$. Найдите периметр параллелограмма.
$AK$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle BAK=\angle KAD$.
В параллелограмме $AD\parallel BC$. Прямая $AK$ — секущая, значит $\angle KAD=\angle AKB$
как накрест лежащие углы.
Из двух равенств получаем $\angle BAK=\angle AKB$. Значит, треугольник $ABK$ —
равнобедренный, и $AB=BK=5$.
Сторона $BC=BK+KC=5+3=8$. В параллелограмме противоположные стороны равны:
$AD=BC=8$ и $CD=AB=5$.
Периметр: $P=2\,(AB+BC)=2\,(5+8)=2\cdot 13=26$.
Ответ: 26.
Как до этого додуматься
Логика поиска решения
Биссектриса даёт пару равных углов; параллельность сторон параллелограмма
даёт накрест лежащие углы. Как только два угла треугольника $ABK$ оказались равны — он
равнобедренный, и неизвестная сторона $AB$ «находится» через известный отрезок $BK$.
Дальше — простая арифметика по свойствам параллелограмма.
Пример 2 · Окружности
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 вписана окружность.
Найдите её радиус.
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:
$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$
Площадь треугольника: $S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$.
Полупериметр: $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$.
Радиус вписанной окружности связан с площадью и полупериметром формулой $S=p\cdot r$, отсюда
$$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{24}{12}=2.$$
Проверка: для прямоугольного треугольника $r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{6+8-10}{2}=2$ — тот же ответ.
Ответ: 2.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Считают $AB=BK$ «на глаз», не обосновав равнобедренность через равные углы.
Путают, какие углы накрест лежащие, и теряют ключевое равенство.
Берут $BC=KC=3$ вместо $BC=BK+KC=8$.
Находят стороны, но забывают, что периметр — это $2(AB+BC)$, а не $AB+BC$.
Дальше
Вся вторая часть разобрана
№20–№25 пройдены. Если уверенно решаете первую часть и берёте 2–4 балла во второй —
это уверенная «4» или «5». Закрепляйте на каталоге и вариантах.