Разбор задания №24 ОГЭ — задача на доказательство

Как оформлять. Запишите «Дано» и «Доказать», сделайте чертёж, затем — цепочку рассуждений: каждый шаг сопровождайте ссылкой на теорему или признак («по признаку равенства треугольников», «как накрест лежащие углы» и т. п.).

В №24 доказательство строят по одному из трёх типов фигур. Разберём по примеру на каждый: треугольник, четырёхугольник (параллелограмм) и окружность.

Чем чаще всего доказывают

• Признаки равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум углам; по трём сторонам) — самый частый инструмент.
• Признаки подобия треугольников и свойства параллельных прямых (накрест лежащие, соответственные углы).
• Свойства фигур: равнобедренный треугольник, параллелограмм, а у окружности — радиус в точку касания перпендикулярен касательной, вписанные углы.

Медианы к боковым сторонам равны

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведены медианы $BM$ и $CN$ к боковым сторонам. Докажите, что $BM=CN$.

Доказательство.

1. $N$ и $M$ — середины сторон, поэтому $AN=\dfrac{AB}{2}$ и $AM=\dfrac{AC}{2}$.
2. По условию $AB=AC$, значит и половины равны: $AN=AM$.
3. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ACN$. В них: $AB=AC$ (по условию); $AM=AN$ (доказано выше); угол $A$ — общий.
4. Значит, $\triangle ABM=\triangle ACN$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
5. У равных треугольников соответственные стороны равны, поэтому $BM=CN$. Что и требовалось доказать.

Диагональ параллелограмма делит его на равные треугольники

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны.

Доказательство.

1. Диагональ $AC$ — общая сторона обоих треугольников.
2. $AB\parallel CD$ (противоположные стороны параллелограмма), $AC$ — секущая, поэтому $\angle BAC=\angle DCA$ как накрест лежащие углы.
3. $BC\parallel AD$ (противоположные стороны), $AC$ — секущая, поэтому $\angle BCA=\angle DAC$ как накрест лежащие углы.
4. В треугольниках $ABC$ и $CDA$ сторона $AC$ общая и прилежащие к ней углы попарно равны, значит $\triangle ABC=\triangle CDA$ по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Что и требовалось доказать.

Две касательные из одной точки равны

Из точки $P$ вне окружности с центром $O$ проведены две касательные, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что $PA=PB$.

Доказательство.

1. Проведём радиусы $OA$ и $OB$ в точки касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$.
2. Значит, треугольники $OAP$ и $OBP$ — прямоугольные.
3. В них гипотенуза $OP$ — общая, а катеты $OA=OB$ как радиусы одной окружности.
4. Прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе: $\triangle OAP=\triangle OBP$.
5. У равных треугольников соответственные катеты равны, поэтому $PA=PB$. Что и требовалось доказать.

Частые ошибки

Соседние разборы второй части