№24 — геометрическая задача на доказательство. Числового ответа нет: нужно строго,
со ссылками на теоремы и признаки, обосновать утверждение. За полное доказательство —
2 балла.
Как оформлять. Запишите «Дано» и «Доказать», сделайте чертёж,
затем — цепочку рассуждений: каждый шаг сопровождайте ссылкой на теорему или признак
(«по признаку равенства треугольников», «как накрест лежащие углы» и т. п.).
В №24 доказательство строят по одному из трёх типов фигур. Разберём
по примеру на каждый: треугольник, четырёхугольник (параллелограмм) и окружность.
Памятка
Чем чаще всего доказывают
Признаки равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними; по стороне и
двум углам; по трём сторонам) — самый частый инструмент.
Признаки подобия треугольников и свойства параллельных прямых (накрест лежащие,
соответственные углы).
Свойства фигур: равнобедренный треугольник, параллелограмм, а у окружности —
радиус в точку касания перпендикулярен касательной, вписанные углы.
Алгоритм
4 шага для доказательства
Переведите условие в «Дано» и «Доказать» и постройте чертёж.
Отметьте на чертеже всё данное: равные отрезки штрихами, равные углы дужками, параллельность стрелками. Дальше решение часто видно глазами.
Поймите, что с чем связать. Почти всегда это два треугольника (равенство или подобие) либо углы при параллельных прямых.
Выстройте цепочку, называя признак на каждом шаге, и закончите словом «Доказано».
Пример 1 · Треугольники
Медианы к боковым сторонам равны
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведены медианы $BM$ и $CN$
к боковым сторонам. Докажите, что $BM=CN$.
Диагональ $AC$ — общая сторона обоих треугольников.
$AB\parallel CD$ (противоположные стороны параллелограмма), $AC$ — секущая, поэтому
$\angle BAC=\angle DCA$ как накрест лежащие углы.
$BC\parallel AD$ (противоположные стороны), $AC$ — секущая, поэтому
$\angle BCA=\angle DAC$ как накрест лежащие углы.
В треугольниках $ABC$ и $CDA$ сторона $AC$ общая и прилежащие к ней углы попарно равны,
значит $\triangle ABC=\triangle CDA$ по стороне и двум прилежащим углам
(второй признак равенства треугольников). Что и требовалось доказать.
Отсюда следует и известное свойство: у параллелограмма противоположные
стороны равны ($AB=CD$, $BC=AD$).
Пример 3 · Окружности
Две касательные из одной точки равны
Из точки $P$ вне окружности с центром $O$ проведены две касательные, касающиеся
окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что $PA=PB$.
Дано:$PA$ и $PB$ — касательные, $A$ и $B$ — точки касания.Доказать:$PA=PB$.
Доказательство.
Проведём радиусы $OA$ и $OB$ в точки касания. Радиус, проведённый в точку касания,
перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$.
Значит, треугольники $OAP$ и $OBP$ — прямоугольные.
В них гипотенуза $OP$ — общая, а катеты $OA=OB$ как радиусы одной окружности.
Прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе: $\triangle OAP=\triangle OBP$.
У равных треугольников соответственные катеты равны, поэтому $PA=PB$.
Что и требовалось доказать.
Опора доказательства — свойство «радиус в точку касания перпендикулярен
касательной» и признак равенства прямоугольных треугольников.
Проверь себя
Как убедиться, что доказательство полное
Прочитайте цепочку с конца. Каждый шаг обязан опираться либо на предыдущий, либо на «Дано».
Проверьте, что нигде не использовано то, что как раз доказывается — это круг в рассуждении, и балл за него не ставят.
Убедитесь, что все ссылки названы. «По первому признаку равенства треугольников» — довод; «очевидно» — не довод.
Сверьте с формулировкой: доказано именно то, что требовалось, а не похожее утверждение.
Что видно в решении
Что с этим не так
Встречается то, что требуется доказать
Круг в рассуждении: доказываем через доказываемое
Есть слова «видно из чертежа»
Чертёж иллюстрирует, доказывает текст
Использовано свойство, которого нет в «Дано»
Лишнее допущение — решение засчитают не полностью
На что обратить внимание
Частые ошибки
Пишут «очевидно» вместо ссылки на признак — без обоснования балл не ставят.
Неверно подбирают соответствующие треугольники или путают порядок вершин.
Используют то, что ещё нужно доказать (рассуждение «по кругу»).
Не отмечают на чертеже равные элементы — рассуждение становится непонятным.
Чтобы дали два балла
Как записать доказательство
В №24 нет числового ответа. Оценивают цепочку: из чего следует и по какому признаку.
Оформите начало как в тетради: «Дано», «Доказать», чертёж.
На каждом шаге называйте теорему или признак по имени — «по первому признаку равенства треугольников», «как накрест лежащие при параллельных».
Нельзя опираться на «видно из чертежа»: чертёж иллюстрирует, доказывает текст.
Закончите словом «Доказано» — эксперт должен видеть, что вы дошли до конца.
Полный чек-лист — как оформлять вторую часть: что писать, как обосновывать и почему верный ответ без решения дают не всегда.
Потренируйтесь
Решить №24 с проверкой
Разбор прочитан — дальше решает рука. В тренажёре второй части задание №24 разобрано по шагам, с подсказками и проверкой записи.