Загрузка заданий...

Вариант 325 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивная. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивная в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровное, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в деревню Калиновка можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Ровное	Ольгино	Калиновка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Дивная, промежуточная деревня на прямом шоссе — Калиновка, место поворота на другое шоссе — Ровное, конечный пункт — Ольгино.

Получаем соответствие: Дивная — 2, Калиновка — 1, Ровное — 4, Ольгино — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Ровное, Ольгино, Калиновка.

Следовательно, ответ: 431.

Ответ: 431

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Таловка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

От Таловка до Новая: 5 клеток · 2 км = 10 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Итого по шоссе: 10 + 24 = 34 км.

Ответ: 34.

Ответ: 34

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Камышёвка до села Майское по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 10 км.

Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 26 км.

Ответ: 26.

Ответ: 26

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Васильково в село Иваново Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 15 ч.

В минутах это 80 мин, то есть 80,0 мин.

Ответ: 80,0.

Ответ: 80,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 3 л молока, 2 батона хлеба, 2 кг сыра «Российский», 1 кг говядины, 3 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 3·47=141 + 2·39=78 + 1·335=335 + 3·17=51 + 2·258=516 = 1 121

Абрамово: 3·54=162 + 2·24=48 + 1·333=333 + 3·27=81 + 2·244=488 = 1 112

Таловка: 3·58=174 + 2·43=86 + 1·325=325 + 3·22=66 + 2·251=502 = 1 153

Новая: 3·51=153 + 2·27=54 + 1·324=324 + 3·21=63 + 2·255=510 = 1 104

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 104 руб.

Ответ: 1 104.

Ответ: 1104

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{1}{1} : \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{1}{1} : \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{1}{1} = \frac{1}{1}$.

Шаг 2: $(\frac{1}{1}) : \frac{1}{1} = \frac{1}{1}$.

Получили дробь 1.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1$.

Ответ: $1$.

Ответ: 1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

$\frac{1}{a} > 0$

-5 - a > 0

a > -4

Решение

По чертежу видно, что -5 < a < -4.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — верно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) -5 - a > 0 ⇔ a < -5 — неверно.

4) a > -4 ⇔ a > -4 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{11} \cdot \sqrt{22}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√2 · 5√11 · √22.

Перемножим коэффициенты: 5 · 5 = 25.

Подкоренные выражения дают: √2 · √11 · √22 = √(2·11·22) = √(484) = 22.

Тогда всё выражение равно 25 · 22 = 550.

Ответ: 550.

Ответ: 550

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 7x + 11 = 18

Решение

Решим уравнение: 7x + 11 = 18

Перенесём 11 в правую часть:

7x = 18 - 11

7x = 7

Разделим обе части на 7:

x = 7 / 7

x = 1

Ответ: 1

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 62 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 138 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 138/200 = 0,69.

Ответ: 0,69.

Ответ: 0,69

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -1x

Б) y = -2x² + 4x

В) y = 2/x

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с^-1, а центростремительное ускорение равно 48 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 48/(4²) = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² < 64

Решение

Из неравенства x² < 64 получаем границы x = ±8. Верное решение: (-8;8). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 7 см = 0,07 м.

После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.

Ответ: 7.

Ответ: 7

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 101°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.

Поэтому он равен 180° - 101° = 79°.

Ответ: 79.

Ответ: 79

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 2√2 = 4√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 4√2 · √2 = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 10.

Решение

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна средней линии.

При угле 45° вертикальная и горизонтальная проекции равны.

Следовательно, высота равна средней линии: (4 + 10) / 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 3 и 9.

m = (3 + 9) / 2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².

2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.

3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+3y^2=31,\\2x^2+6y^2=31x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 2.

Шаг 1. Умножаем первое на 2: $2x^2+6y^2=62$.

Шаг 2. По второму: $2x^2+6y^2=31x$.

Шаг 3. Приравниваем правые части:

$62=31x\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Подставляем $x=2$:

$4+3y^2=31\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3$.

Ответ: $(2;\,-3);\ (2;\,3)$.

Правильный ответ: (2;-3);(2;3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 4 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 36 км.

Время плота в пути: 36 / 4 = 9 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

9 − 1 = 8 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

126/(x+4) + 126/(x−4) = 8.

Шаг 5. Умножаем на (x+4)(x−4) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 32.

Шаг 7. Проверка: $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = 8. ✓

Ответ: 32.

Правильный ответ: 32

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+0,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1; 1; 1,25 $.

Ответ: $ -1; 1; 1,25 $.

Правильный ответ: -1; 1; 1,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 24, CD = 70, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 35.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 35, полухорда = AB/2 = 12.

R² = 35² + 12² = 1225 + 144 = 1369. R = 37.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 35.

d² = R² − 35² = 1369 − 1225 = 144. d = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.

Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,

поэтому высота hK = (hC + hD)/2.

Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.

Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.

Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 160 ⟹ a+b = 80.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1280/80 = 32.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=80 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=32:

a = 16, b = 64.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 32·$\frac{16}{80}$ = 6,4.

Ответ: 6,4.

Правильный ответ: 6,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.