Загрузка заданий...

Вариант 326 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 02.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

Ответ: 56

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

Ответ: 40

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.

Ответ: 200,0.

Ответ: 200,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

Ответ: 1170

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,4 - 0,025 \cdot 0,6$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,4 - 0,025 \cdot 0,6$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,025) \cdot 0,6 = 0,015$.

Шаг 2: $(0,4) - 0,015 = 0,385$.

Ответ: $0,385$.

Ответ: 0,385

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a < 7

$\frac{1}{a} < 0$

a - 7 > 0

a - 6 < 0

Решение

По чертежу видно, что 6 < a < 7.

Проверим варианты ответа:

1) a < 7 ⇔ a < 7 — верно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) a - 7 > 0 ⇔ a > 7 — неверно.

4) a - 6 < 0 ⇔ a < 6 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (2√6)².

Используем свойство степени произведения: (2√6)² = 2² · (√6)².

Получаем 4 · 6 = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 5x - 36 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 5x - 36 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 5, c = -36.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4·1·-36 = 169.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-5 - √169) / 2 = -9

x₂ = (-5 + √169) / 2 = 4

Ответ: -9;4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события B.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b < 0

2) k > 0, b < 0

3) k > 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -25 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -25 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-25) + 32 = -13.

Ответ: -13.

Ответ: -13

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 6)(x - 5) < 0

Решение

Нули выражения: x = -6 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 5) < 0 получаем решение (-6;5). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 7/9, AB = 54. Найдите BC.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 54 · $\frac{7}{9}$ = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 2√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

R = 2√3 · √3 / 3 = $\frac{6}{3}$ = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 16, BD = 20, AB = 5. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 20 / 2 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 6, высота равна 3.

S = 6 · 3 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $10a-18b+14$, если $\dfrac{8a-6b+5}{6a-8b+5}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $10a-18b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $8a-6b+5 = 3(6a-8b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $8a-6b+5 = 18a-24b+15$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 10a-18b+10$, откуда $10a-18b = -10$.

Шаг 4. Вычисляем: $10a-18b+14 = -10+14 = 4$.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 5) км/ч.

Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:

180/x = 180/(x+5) + 3.

Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+5): 3x² + 15x − 900 = 0.

Шаг 4. D = 11025, √D = 105. x = (−15+105)/(2·3) = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+2,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+2,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-3,25; -3; 3 $.

Ответ: $ -3,25; -3; 3 $.

Правильный ответ: -3,25; -3; 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 15 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 15 + 2 = 17.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 17 и катетом DH = 15.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(17² − 15²) = √(64) = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.

Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):

∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.

Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 36 · 44 = 1584.

AT = √1584.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 8 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{11}{6}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 21,6.

Ответ: 21,6.

Правильный ответ: 21,6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.