Загрузка заданий...

Вариант 4 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно
Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Никита летом отдыхает с папой в деревне Лягушкино. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Вятское в спортивный магазин. Из деревни Лягушкино в село Вятское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Куровка до деревни Марусино, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Вятское. Есть и третий маршрут: в деревню Куровка можно свернуть на прямую тропинку в село Вятское, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Никита с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.
План местности
1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пунктыМарусиноВятскоеКуровка
Цифры   
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Лягушкино, промежуточная деревня на прямом шоссе — Куровка, место поворота на другое шоссе — Марусино, конечный пункт — Вятское.
Получаем соответствие: Лягушкино — 4, Куровка — 3, Марусино — 1, Вятское — 2.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Марусино, Вятское, Куровка.
Следовательно, ответ: 123.
Ответ: 123
2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Зябликово до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение
От Зябликово до Старая: 5 клеток · 1 км = 5 км.
От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.
Итого по шоссе: 5 + 12 = 17 км.
Ответ: 17.
Ответ: 17
3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Сосенки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.
Значит, катеты равны 48 км и 20 км.
Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 52 км.
Ответ: 52.
Ответ: 52
4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в деревню Вёсенка на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?

Решение
Первый участок — по шоссе от Масловка до Вёсенка: 11 км.
Время на первом участке: 11 / 20 · 60 = 33.0 мин.
Второй участок — по прямой от Вёсенка до Захарово: 13 км.
Время на втором участке: 13 / 15 · 60 = 52.0 мин.
Общее время: 33.0 + 52.0 = 85,0 мин.
Ответ: 85,0.
Ответ: 85,0
5 Задание 5 1 балл
Наименование продуктаЁлочкиКленовоеСосенкиЖуки
Молоко (1 л)47364540
Хлеб (1 батон)31283225
Сыр «Российский» (1 кг)274265264275
Говядина (1 кг)297292297301
Картофель (1 кг)31172917

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179
Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073
Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160
Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.
Ответ: 1 073.
Ответ: 1073
6 Числа и вычисления 1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} : 8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{5} : 8\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{5}) : 8 = 0,075\).
Получили результат \(0,075\).
Ответ: \(0,075\).
Ответ: 0,075
7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу \(\frac{\sqrt{7}}{2}\). Какая это точка?
Координатная прямая
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{\sqrt{7}}{2}\) по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{50} + \sqrt{32})\sqrt{2}$$
Решение
Вычислим выражение: (√50 + √32)·√2.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √50 = 5√2, √32 = 4√2.
Тогда получаем (5√2 + 4√2)·√2 = 9√2·√2.
Так как √2·√2 = 2, имеем 9·2 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
9 Уравнения, системы уравнений 1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(4x - 5)}{3} - \frac{(7x - 8)}{3} = 2$$
Решение
Решим уравнение: (4x - 5)/3 - (7x - 8)/3 = 2
Домножим обе части на НОК знаменателей 3 и 3, то есть на 3.
Получим:
(4x - 5) - (7x - 8) = 6
Приведём подобные слагаемые:
-3x + 3 = 6
Перенесём число в правую часть:
-3x = 3
Разделим обе части на -3:
x = 3 / -3
x = -1
Ответ: -1
Ответ: -1
10 Статистика, вероятности 1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 1 чёрных, 9 жёлтых и 5 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 15.
Благоприятных исходов: 9 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{9}{15}\) = 0,6.
Ответ: 0,6.
Ответ: 0,6
11 Графики функций 1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
АБВ
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12 Расчёты по формулам 1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1 = 10, sinα = 0,417, а S = 18,75.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).
d₂ = 2·18,75/(10·0,417) = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
13 Неравенства, системы неравенств 1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x + 5 > 2x + 5
1
(-∞;-2)
2
(-2;+∞)
3
(0;+∞)
4
(-∞;0)
Решение
Решим неравенство: -3x + 5 > 2x + 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x < 0.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -5: x < 0.
Значит, x меньше 0.
Этому соответствует промежуток (-∞;0).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14 Задачи на прогрессии 1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 6-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 7-го уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15 Треугольники и их элементы 1 балл
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.
Чертёж
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 16 · 23 = 368/2 = 184.
Ответ: 184.
Ответ: 184
16 Окружность, круг и их элементы 1 балл
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 7, BC = 13, CD = 7. Найдите AD.
Чертёж
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.
AD = AB + CD - BC = 7 + 7 - 13 = 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Чертёж
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 5 + 5 = 10.
S = 10 · 12 = 120.
Ответ: 120.
Ответ: 120
18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Чертёж
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 4 и 6.
m = (4 + 6) / 2 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19 Анализ геометрических высказываний 1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2
Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
3
Диагонали ромба равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.
2) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.
3) Неверно: у ромба диагонали не обязаны быть равными.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла
Найдите значение выражения \(39a-11b+35\), если \(\dfrac{3a-7b+5}{7a-3b+5}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(39a-11b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(3a-7b+5 = 6(7a-3b+5)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(3a-7b+5 = 42a-18b+30\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 39a-11b+25\), откуда \(39a-11b = -25\).
Шаг 4. Вычисляем: \(39a-11b+35 = -25+35 = 10\).
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21 Текстовые задачи 2 балла
Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 9) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 112/(x−9) мин, второй — 112/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
112/(x−9) − 112/x = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x−9):
112·x − 112·(x−9) = 4·x·(x−9).
1008 = 4·x² − 36·x.
4x² − 36x − 1008 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1008 = 1296 + 16128 = 17424, √D = 132.
x = (36 + 132) / (2·4) = 21 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 112/12 = \(\frac{28}{3}\) мин, вторая — 112/21 = \(\frac{16}{3}\) мин.
\(\frac{28}{3}\) − \(\frac{16}{3}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 21.
Правильный ответ: 21
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x-2))}{2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
График функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+1),\ x\ne 2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=-(x^2+a) \) с выколотой точкой при \( x=2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2,5; -2; 2 \).
Ответ: \( -2,5; -2; 2 \).
Правильный ответ: -2,5; -2; 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 15, BF = 8.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(15² + 8²) = √289 = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.
Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √35/6.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 35 = 315.
AT = √315.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 26 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{35}{6}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 27.
Ответ: 27.
Правильный ответ: 27
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта