Загрузка заданий...

Вариант 4 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Никита летом отдыхает с папой в деревне Лягушкино. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Вятское в спортивный магазин. Из деревни Лягушкино в село Вятское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Куровка до деревни Марусино, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Вятское. Есть и третий маршрут: в деревню Куровка можно свернуть на прямую тропинку в село Вятское, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Никита с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Марусино	Вятское	Куровка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Лягушкино, промежуточная деревня на прямом шоссе — Куровка, место поворота на другое шоссе — Марусино, конечный пункт — Вятское.

Получаем соответствие: Лягушкино — 4, Куровка — 3, Марусино — 1, Вятское — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Марусино, Вятское, Куровка.

Следовательно, ответ: 123.

Ответ: 123

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Зябликово до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

От Зябликово до Старая: 5 клеток · 1 км = 5 км.

От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Итого по шоссе: 5 + 12 = 17 км.

Ответ: 17.

Ответ: 17

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Сосенки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.

Значит, катеты равны 48 км и 20 км.

Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 52 км.

Ответ: 52.

Ответ: 52

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в деревню Вёсенка на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?

Решение

Первый участок — по шоссе от Масловка до Вёсенка: 11 км.

Время на первом участке: 11 / 20 · 60 = 33.0 мин.

Второй участок — по прямой от Вёсенка до Захарово: 13 км.

Время на втором участке: 13 / 15 · 60 = 52.0 мин.

Общее время: 33.0 + 52.0 = 85,0 мин.

Ответ: 85,0.

Ответ: 85,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

Ответ: 1073

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} : 8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{5} : 8$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{5}) : 8 = 0,075$.

Получили результат $0,075$.

Ответ: $0,075$.

Ответ: 0,075

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\frac{\sqrt{7}}{2}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{\sqrt{7}}{2}$ по своему значению совпадает с точкой B.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{50} + \sqrt{32})\sqrt{2}$$

Решение

Вычислим выражение: (√50 + √32)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √50 = 5√2, √32 = 4√2.

Тогда получаем (5√2 + 4√2)·√2 = 9√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 9·2 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3 + 3(2x + 5) = 8x + 20

Решение

Решим уравнение: 3 + 3(2x + 5) = 8x + 20

Раскроем скобки:

3 + 3(2x + 5) = 8x + 20

3 + 6x + 15 = 8x + 20

Приведём подобные слагаемые в левой части:

6x + 18 = 8x + 20

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-2x = 2

Разделим обе части на -2:

x = 2 / -2

x = -1

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,5.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -1x² + 4x - 3

Б) y = 1/x

В) y = 0.3333333333333333x + 2

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 9-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 9 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(9 − 5) = 194.

Ответ: 194.

Ответ: 194

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≥ 64

Решение

Из неравенства x² >= 64 получаем границы x = ±8. Верное решение: (-∞;-8] ∪ [8;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,4, d = 0,1, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 3,9.

Ответ: 3,9.

Ответ: 3,9

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 102°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 102° = 78°.

Каждый из них равен 78° : 2 = 39°.

Ответ: 39.

Ответ: 39

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен √10. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = √10, значит a = 2√2.

Площадь квадрата равна a² = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.

Больший отрезок равен 11 / 2 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Ответ: 5,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 4 и 2.

Искомое отношение площадей равно (4 / 2)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².

2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.

3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 1 км.

Длина круга = x + 1 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 15 мин назад, то есть за (1 − $\frac{15}{60}$) = 0,75 ч.

Длина круга = (x + 5) · 0,75 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 1 = (x + 5) · 0,75.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 11 км/ч.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -6. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -6.

Проверка: при m = -6 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -6.

Правильный ответ: -6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 8, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 2 = 8 / 2 = 4.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.

По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 4 = 5.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 5)/2 · 3 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.