Загрузка заданий...
Вариант 422 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 09.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 3, кладовая — 5, спальня — 2, кухня — 1.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 3521.
Ответ: 3521
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,8 = 0,16 кв. м.
Нужно элементов: 98,56 / 0,16 = 616.
В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 52 упаковки.
Ответ: 52.
Ответ: 52
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,64 = 23,04 кв. м.
Ответ: 23,04.
Ответ: 23,04
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «600» | 650 руб. за 600 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб |
| План «900» | 820 руб. за 900 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб |
| План «Безлимитный» | 930 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?
Решение
Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:
План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.
План «900»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 930 руб.
Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.
Ответ: 820.
Ответ: 820
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$4 + \frac{1}{4} - \frac{2}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(4 + \frac{1}{4} - \frac{2}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((4) + \frac{1}{4} = 4,25\).
Шаг 2: \((4,25) - \frac{2}{5} = 3,85\).
Получили результат \(3,85\).
Ответ: \(3,85\).
Ответ: 3,85
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше \(\frac{3}{4}\), но меньше \(\frac{97}{20}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{97}{20}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\sqrt{6}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 1)(\sqrt{8} + 1)$$
Решение
Вычислим выражение: (√8 - 1)(√8 + 1).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√8)² - 1² = 8 - 1 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{7}{x - 6} = -7$$
Решение
Решим уравнение: 7/(x - 6) = -7
Область допустимых значений: x != 6.
Умножим обе части уравнения на x - 6:
7 = -7(x - 6)
Раскроем скобки:
7 = -7x + 42
Перенесём число в левую часть:
-35 = -7x
x = -35 / -7
x = 5
Проверка ОДЗ: x = 5, x != 6, условие выполняется.
Ответ: 5
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 142 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 58 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 58/200 = 0,29.
Ответ: 0,29.
Ответ: 0,29
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 20 колец.
Решение
Подставим n = 20 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·20 = 88000.
Ответ: 88 000.
Ответ: 88 000
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
2x + 1 ≤ -3x - 7
Решение
Решим неравенство: 2x + 1 <= -3x - 7.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x <= -8.
Делим обе части на 5: x <= -1,6.
Значит, x меньше или равно -1,6.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1,6].
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 11 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 11, q = 3.
За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 11·3^4 = 891 мг.
Ответ: 891.
Ответ: 891
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 7/9, AB = 54. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 54 · \(\frac{7}{9}\) = 42.
Ответ: 42.
Ответ: 42
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 27°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.
Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 27° / 2 = 13,5°.
Ответ: 13,5.
Ответ: 13,5
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 24, BD = 28, AB = 6. Найдите DO.
Решение
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, DO = BD / 2 = 28 / 2 = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 2 и 8.
m = (2 + 8) / 2 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-10}{(x-3)^2-5}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-10<0\), поэтому дробь \(\ge0\) только когда знаменатель отрицателен.
(При нулевом знаменателе дробь не определена — такие точки исключаются.)
Шаг 1. Ставим условие на знаменатель: \((x-3)^2-5<0\).
Шаг 2. Переносим: \((x-3)^2<5\).
Шаг 3. Извлекаем корень: \(-\sqrt{5}<x-3<\sqrt{5}\).
Шаг 4. Прибавляем 3 ко всем частям: \(3-\sqrt{5}<x<3+\sqrt{5}\).
Ответ: \((3-\sqrt{5};\; 3+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: [3-√5;3+√5]
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/42 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/48 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/42 + S/48) = 2 / (\(\frac{1}{42}\) + \(\frac{1}{48}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·42·48 / (42 + 48) = 4032 / 90 = 44,8 км/ч.
Ответ: 44,8.
Правильный ответ: 44,8
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+0,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-1; 1; 1,25 \).
Ответ: \( -1; 1; 1,25 \).
Правильный ответ: -1; 1; 1,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 65, BC = 30, CF : DF = 4 : 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 4:3 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 4:3 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (3·30 + 4·65) / (4+3).
Шаг 3. EF = (90 + 260) / 7 = 350 / 7 = 50.
Ответ: 50.
Правильный ответ: 50
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.
Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):
∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.
Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 124° − 90° = 34°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 116° − 90° = 26°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 34° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 26° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 26° = 64°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 64° − 34° = 30°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(30°) = 6 / sin(30°) = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.