Загрузка заданий...

Вариант 423 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 09.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	841	594
2	1189	841
3	297	210
4	594	420

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.

Ответ: 2143

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?

Решение

Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.

Ответ: 0.7

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.

Ответ: 21

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,6 \cdot \frac{7}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,6 \cdot \frac{7}{8}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,6) \cdot \frac{7}{8} = 0,525$.

Получили результат $0,525$.

Ответ: $0,525$.

Ответ: 0,525

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > -4

$\frac{1}{a} > 0$

-5 - a > 0

a < -4

Решение

По чертежу видно, что -5 < a < -4.

Проверим варианты ответа:

1) a > -4 ⇔ a > -4 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) -5 - a > 0 ⇔ a < -5 — неверно.

4) a < -4 ⇔ a < -4 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$7^{-2} \cdot (7^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 7^(-2) · (7^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-2 · 7^4 = 7^2.

Получаем 7^2 = 49.

Ответ: 49.

Ответ: 49

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{7}{x + 3} = 1$$

Решение

Решим уравнение: 7/(x + 3) = 1

Область допустимых значений: x != -3.

Умножим обе части уравнения на x + 3:

7 = 1(x + 3)

Раскроем скобки:

7 = 1x + 3

Перенесём число в левую часть:

4 = 1x

x = 4 / 1

x = 4

Проверка ОДЗ: x = 4, x != -3, условие выполняется.

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 14 чёрных, 19 жёлтых и 7 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 19 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{19}{40}$ = 0,475.

Ответ: 0,475.

Ответ: 0,475

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 8,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 361,25 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 361,25/(8,5²) = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

2x + 9 ≥ -7x - 9

[-2;+∞)

[-3,6;+∞)

(-∞;0]

[3,6;+∞)

Решение

Решим неравенство: 2x + 9 >= -7x - 9.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 9x >= -18.

Делим обе части на 9: x >= -2.

Значит, x больше или равно -2.

Этому соответствует промежуток [-2;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 5 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.

Через 5 минут изменение составит 5·5 = 25° C.

Итоговая температура: -9 - 25 = -34.

Ответ: -34.

Ответ: -34

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 13√3.

Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Тогда угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.

Следовательно, ∠ABC = 90° - 44° = 46°.

Ответ: 46.

Ответ: 46

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 62°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 62° = 118°.

Ответ: 118.

Ответ: 118

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 4.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-11}{(x-2)^2-3}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-11<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x-2)^2-3<0$.

Шаг 2. $(x-2)^2<3$.

Шаг 3. $-\sqrt{3}<x-2<\sqrt{3}$.

Шаг 4. Прибавляем 2: $2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}$.

Ответ: $(2-\sqrt{3};\; 2+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (2-√3;2+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 11) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 4 км.

Длина круга = x + 4 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 20 мин назад, то есть за (1 − $\frac{20}{60}$) = 0,6666666667 ч.

Длина круга = (x + 11) · 0,6666666667 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 4 = (x + 11) · 0,6666666667.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 10 км/ч.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-6x+11,& x\ge 2,\\x+3,& x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {2}∪(3;5).

Ответ: {2}∪(3;5).

Правильный ответ: {2}∪(3;5)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 9, AC = 81.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 9 · 81 = 729.

Шаг 3. AB = √729 = 27.

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке E и CD в точке F.

Центральная симметрия переводит AB в CD и E в F (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит AE = CF. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 80, MD = 64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 80 − 64 = 16.

AM² = 256.

AH = AM² / AD = 256 / 80 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 80 − 4096/80 = 28,8.

Ответ: 28,8.

Правильный ответ: 28,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.