Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
1Задание 11 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Населённые пункты
Новая
Абрамово
Таловка
Цифры
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.
Следовательно, ответ: 324.
Ответ: 324
2Задание 21 балл
Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.
От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.
От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.
Складываем: 32 + 24 = 56 км.
Ответ: 56.
Ответ: 56
3Задание 31 балл
Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 24 км и 32 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.
Ответ: 40.
Ответ: 40
4Задание 41 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?
Решение
По прямой расстояние равно 40 км.
Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.
В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.
Ответ: 200,0.
Ответ: 200,0
5Задание 51 балл
Наименование продукта
Грушёвка
Абрамово
Таловка
Новая
Молоко (1 л)
47
54
58
51
Хлеб (1 батон)
39
24
43
27
Сыр «Российский» (1 кг)
258
244
251
255
Говядина (1 кг)
335
333
325
324
Картофель (1 кг)
17
27
22
21
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 2, то есть на 2.
Получим:
(2x - 2) - (5x - 7) + 2x = 4
Приведём подобные слагаемые:
-1x + 5 = 4
Перенесём число в правую часть:
-1x = -1
Разделим обе части на -1:
x = -1 / -1
x = 1
Ответ: 1
Ответ: 1
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cap B\).
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,1.
Ответ: 0,1
Ответ: 0,1
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 0.8x + 2
Б) y = 0.1/x
В) y = -2x² - 6x + 1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -112 градусов по шкале Фаренгейта?
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x < -19.
Делим обе части на 10: x < -1,9.
Значит, x меньше -1,9.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1,9).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,6 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.
Ответ: 6
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике два угла равны 85° и 43°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 85° - 43° = 52°.
Ответ: 52.
Ответ: 52
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 4√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 4√3 · √3 / 3 = \(\frac{12}{3}\) = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 12°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 7, высота равна 4.
S = 7 · 4 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.
3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите уравнение: \((x+2)^4+(x+2)^2-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x+2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+t-12=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+4)(t-3)=0\).
Корни: \(t_1=-4\), \(t_2=3\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\) (так как \(t\ge0\)).
Шаг 4. Решаем \((x+2)^2=3\):
\(x+2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(-2-\sqrt{3};\quad -2+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: -2-√3;-2+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 3 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 51 км.
Время плота в пути: 51 / 3 = 17 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
17 − 1 = 16 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
140/(x+3) + 140/(x−3) = 16.
Шаг 5. Умножаем на (x+3)(x−3) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 24 + 9... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 7, AB = 24, CD = 25, BC = 9.