Загрузка заданий...

Вариант 52 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно
Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
План местности
1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пунктыНоваяАбрамовоТаловка
Цифры   
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.
Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.
Следовательно, ответ: 324.
Ответ: 324
2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.
От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.
От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.
Складываем: 32 + 24 = 56 км.
Ответ: 56.
Ответ: 56
3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 24 км и 32 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.
Ответ: 40.
Ответ: 40
4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение
По прямой расстояние равно 40 км.
Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.
В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.
Ответ: 200,0.
Ответ: 200,0
5 Задание 5 1 балл
Наименование продуктаГрушёвкаАбрамовоТаловкаНовая
Молоко (1 л)47545851
Хлеб (1 батон)39244327
Сыр «Российский» (1 кг)258244251255
Говядина (1 кг)335333325324
Картофель (1 кг)17272221

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207
Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198
Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234
Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.
Ответ: 1 170.
Ответ: 1170
6 Числа и вычисления 1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{12}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{12}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{2}) \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{8}\).
Получили дробь \(\frac{7}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,875\).
Ответ: \(0,875\).
Ответ: 0,875
7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -3,84 до \(\frac{357}{100}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{17}{8}\)
2
-4,025
3
\(-\frac{21}{5}\)
4
-4
Решение
Сравним числа -3,84 и \(\frac{357}{100}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\frac{17}{8}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{60}$$
Решение
Вычислим выражение: 4√6 · 2√10 · √60.
Перемножим коэффициенты: 4 · 2 = 8.
Подкоренные выражения дают: √6 · √10 · √60 = √(6·10·60) = √(3600) = 60.
Тогда всё выражение равно 8 · 60 = 480.
Ответ: 480.
Ответ: 480
9 Уравнения, системы уравнений 1 балл
Решите уравнение: 4x + 15 = 47
Решение
Решим уравнение: 4x + 15 = 47
Перенесём 15 в правую часть:
4x = 47 - 15
4x = 32
Разделим обе части на 4:
x = 32 / 4
x = 8
Ответ: 8
Ответ: 8
10 Статистика, вероятности 1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Диаграмма Эйлера
Решение
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события \(A \cup \overline{B}\): 6.
\(P=6/8=0,75\).
Ответ: 0,75
Ответ: 0,75
11 Графики функций 1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -0.5/x
Б) y = -0.5x + 6
В) y = 1x² + 4x - 3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
АБВ
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12 Расчёты по формулам 1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1 = 14, sinα = 0,714, а S = 55.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).
d₂ = 2·55/(14·0,714) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13 Неравенства, системы неравенств 1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Координатная прямая
1
x2 - 7x < 0
2
x2 - 7x > 0
3
x2 - 49 < 0
4
x2 - 49 > 0
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 1.
Ответ: 1
14 Задачи на прогрессии 1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 32 минут пройдёт 4 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 12,5 мг.
Ответ: 12,5.
Ответ: 12,5
15 Треугольники и их элементы 1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Чертёж
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 16√3 · √3 / 2 = 16·3 / 2 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
16 Окружность, круг и их элементы 1 балл
Сторона квадрата равна 40√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Чертёж
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.
Если a = 40√2, то d = 40√2 · √2 = 80.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали.
R = d / 2 = 80 / 2 = 40.
Ответ: 40.
Ответ: 40
17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 23° и 84°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Чертёж
Решение
Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.
Искомый угол равен 180° - 23° - 84° = 73°.
Ответ: 73.
Ответ: 73
18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Чертёж
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 7, высота равна 4.
S = (5 + 7) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
19 Анализ геометрических высказываний 1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.
3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла
Найдите значение выражения \(71a-b+82\), если \(\dfrac{a-8b+9}{8a-b+9}=9\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(71a-b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(a-8b+9 = 9(8a-b+9)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(a-8b+9 = 72a-9b+81\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 71a-b+72\), откуда \(71a-b = -72\).
Шаг 4. Вычисляем: \(71a-b+82 = -72+82 = 10\).
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 79% воды, значит сухого вещества 21%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 288 кг свежих фруктов:
288 · 21/100 = 60,48 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 60,48.
x = 60,48 / 0,84 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
График функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 21, полухорда = AB/2 = 20.
R² = 21² + 20² = 441 + 400 = 841. R = 29.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 21.
d² = R² − 21² = 841 − 441 = 400. d = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.
Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 86° и 4°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 4. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 86° + 4° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 6 и 4.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).
a+b = 12, b-a = 8.
b = 10, a = 2.
Ответ: 2; 10.
Правильный ответ: 2; 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта