Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1 ГБ, 3 ГБ, 3,25 ГБ, 1,5 ГБ.
Мобильный интернет
1 ГБ
3 ГБ
3,25 ГБ
1,5 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 76108.
Ответ: 76108
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?
Решение
В феврале минуты не превышают пакет, а интернет превышает пакет на 0,5 ГБ. Доплата за 0,5 ГБ равна 90 руб. Итого: 350 + 90 = 440 руб. Ответ: 440.
Ответ: 440
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит по пакету мобильного интернета?
Решение
По пунктирному графику лимит 3 ГБ превышен в четырёх месяцах. Ответ: 4.
Ответ: 4
4Задание 41 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём 2019 года?
Решение
В январе 2,5 ГБ, в феврале 3,5 ГБ. Увеличение: 3,5 − 2,5 = 1 ГБ. Процент увеличения: 1 : 2,5 · 100% = 40%. Ответ: 40.
Ответ: 40
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
440 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
180 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф оказался выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 440 руб. Ответ: 440.
Ответ: 440
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} \cdot \frac{6}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} \cdot \frac{6}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,2\).
Ответ: \(1,2\).
Ответ: 1,2
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Укажите число, которое больше -2,45, но меньше 3,875.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(-\frac{22}{5}\)
2
\(-\frac{101}{25}\)
3
-2,75
4
0,44
Решение
Сравним числа -2,45 и 3,875. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (0,44) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)$$
Решение
Вычислим выражение: (√5 - 3)(√5 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 3² = 5 - 9 = -4.
Ответ: -4.
Ответ: -4
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-7}{x - 4} = 1$$
Решение
Решим уравнение: -7/(x - 4) = 1
Область допустимых значений: x != 4.
Умножим обе части уравнения на x - 4:
-7 = 1(x - 4)
Раскроем скобки:
-7 = 1x - 4
Перенесём число в левую часть:
-3 = 1x
x = -3 / 1
x = -3
Проверка ОДЗ: x = -3, x != 4, условие выполняется.
Ответ: -3
Ответ: -3
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 31 чёрных, 8 жёлтых и 1 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 8 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{8}{40}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
Ответ: 0,2
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) y = 2x - 2
Б) y = 3x + 4
В) y = 2x - 3
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -90 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -90 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-90) + 32 = -130.
Ответ: -130.
Ответ: -130
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-7x - 7 < -6x - 3
1
(-4;+∞)
2
(4;+∞)
3
(-∞;4)
4
(0;+∞)
Решение
Решим неравенство: -7x - 7 < -6x - 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x > 4.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -1: x > -4.
Значит, x больше -4.
Этому соответствует промежуток (-4;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 2, n = 11.
Сначала найдём последний ряд: a11 = 19 + (11 - 1)·2 = 39.
Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(19 + 39)/2 = 319.
Ответ: 319.
Ответ: 319
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 12 · 12 = 144/2 = 72.
Ответ: 72.
Ответ: 72
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите BC, если AC = 5.
Решение
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.
Поэтому AB = 2R = 13.
Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.
По теореме Пифагора находим неизвестный катет.
Ответ: 12.
Ответ: 12
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Основания трапеции равны 5 и 11, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (5 + 11) / 2 = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(5−1)/(7−1)=\(\frac{2}{3}\). x_A=1+\(\frac{2}{3}\)·3=3... нет, считаем по клеткам: A=(2,5), B=(6,5). AB=4.
Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 52 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 28% воды, значит сухого вещества 72%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 52 кг сухих фруктов:
52 · 72/100 = 37,44 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,16·x = 37,44.
x = 37,44 / 0,16 = 234 кг.
Ответ: 234.
Правильный ответ: 234
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 10\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 10.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 10.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 10. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 10.
Проверка: при m = 10 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD = 26.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 26 · sin150°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 26 · sin150°.
AB = 26 · sin150°/sin45° (здесь sin150°/sin45° = √\(\frac{2}{2}\)).
AB = 13√2.
Ответ: 13√2.
Правильный ответ: 13√2
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 13. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
