Разбор задания №22 ОГЭ — построение графика функции
№22 — построить график функции и ответить на вопрос про прямую $y=m$: сколько у неё общих
точек с графиком. Самый частый «секрет» задания — выколотая точка, которая
появляется из-за сокращения дроби. За полное решение дают 2 балла.
Идея. Часто дробь сокращается и график превращается в
знакомую линию (прямую или параболу), но с «дыркой» в той точке, где знаменатель
обращался в ноль. Эта выколотая точка и решает вопрос про число общих точек с прямой.
В №22 график бывает четырёх видов. Разберём по примеру на каждый:
квадратичная функция, гипербола, кусочная функция и функция с модулем. Вопрос везде один —
про число общих точек с прямой $y=m$.
Пример 1 · Квадратичная функция
Парабола
Постройте график функции $y=x^2-4x+3$ и определите, при каких значениях $m$
прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Это парабола, ветви вверх ($a=1>0$). Абсцисса вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$.
Ордината вершины: $y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1$. Вершина — точка $(2;\,-1)$.
Нули: $x^2-4x+3=0$, корни $x=1$ и $x=3$ — график пересекает ось $x$ в $(1;0)$ и $(3;0)$.
Прямая $y=m$ горизонтальна. Выше вершины она пересекает параболу в двух точках,
ниже — ни в одной, а ровно в одной — только когда касается вершины.
Ответ: ровно одна общая точка при $m=-1$.
Пример 2 · Гипербола
График $y=\dfrac{6}{x}$
Постройте график функции $y=\dfrac{6}{x}$ и определите, при каких значениях $m$
прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Область определения: $x\ne 0$. График — гипербола из двух ветвей в I и III четвертях
(при $x>0$ значения $y>0$, при $x<0$ значения $y<0$).
Опорные точки: $(1;6),(2;3),(3;2),(6;1)$ и симметрично $(-1;-6),(-2;-3),(-3;-2),(-6;-1)$.
Оси координат — асимптоты: график к ним приближается, но не касается.
Любая прямая $y=m$ при $m\ne 0$ пересекает одну из ветвей ровно в одной точке.
А прямая $y=0$ — это сама ось $x$ (асимптота): гипербола её не пересекает, ведь
$\dfrac{6}{x}=0$ невозможно.
Ответ: нет общих точек при $m=0$.
Пример 3 · Кусочная функция
Функция, заданная по частям
Постройте график функции
$y=\begin{cases} 2x+4, & x\le -1,\\ -x+1, & x>-1, \end{cases}$
и определите, при каких $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
В точке стыка $x=-1$ обе формулы дают одно значение: $2\cdot(-1)+4=2$ и $-(-1)+1=2$.
Графики «сходятся» в точке $(-1;\,2)$ — разрыва нет.
Слева ($x\le -1$) — луч прямой $y=2x+4$: точки $(-1;2),(-2;0),(-3;-2)$.
Справа ($x>-1$) — луч прямой $y=-x+1$: точки $(-1;2),(0;1),(1;0),(2;-1)$.
Оба луча выходят из $(-1;2)$ вниз — это «пик» (наибольшая точка графика).
Ниже пика прямая $y=m$ пересекает оба луча — две точки; выше — ни одной;
ровно одна точка только на уровне самого пика.
Ответ: ровно одна общая точка при $m=2$.
Пример 4 · Функция с модулем
График $y=|x-1|$
Постройте график функции $y=|x-1|$ и определите, при каких $m$ прямая $y=m$
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Модуль раскрывается по знаку: при $x\ge 1$ это $y=x-1$, при $x<1$ — это $y=-(x-1)=1-x$.
График — «галочка» (буква V) с вершиной в точке $(1;\,0)$, ветви идут вверх.
Опорные точки: $(1;0)$, а также $(0;1),(-1;2)$ слева и $(2;1),(3;2)$ справа.
При $m>0$ прямая $y=m$ пересекает обе ветви — две точки; при $m<0$ — ни одной;
ровно одна — только в вершине.
Ответ: ровно одна общая точка при $m=0$.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Сокращают дробь и забывают про выколотую точку — а именно она и есть ответ задания.
Не указывают область определения ($x\ne 3$) — теряют обоснование.
Считают ординату выколотой точки по сокращённой формуле верно ($y=x+3$ при $x=3$ даёт $6$), но забывают отметить её на чертеже.
Чертёж рисуют «от руки» без подписей осей и единиц — эксперту трудно засчитать.