Задание 23 ОГЭ по математике — геометрия с разбором решения

Совет. Сделайте аккуратный чертёж и отметьте на нём всё, что дано. Часто задача решается одним «школьным» свойством — теоремой Пифагора, подобием или соотношениями в прямоугольном треугольнике.

В №23 расчётная задача бывает по трём типам фигур. Разберём по примеру на каждый: треугольник, четырёхугольник (трапеция) и окружность.

Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе

• Высота $CH$, проведённая из прямого угла к гипотенузе, делит её на отрезки $AH$ и $BH$.
• $CH=\sqrt{AH\cdot BH}$ — высота есть среднее геометрическое отрезков гипотенузы.
• $AC=\sqrt{AH\cdot AB}$, $BC=\sqrt{BH\cdot AB}$ — катет есть среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего отрезка.

4 шага для этого задания

1. Постройте чертёж по условию и подпишите на нём все данные.
2. Найдите знакомую конфигурацию: прямоугольный треугольник, подобие, вписанный угол, касательная, средняя линия.
3. Выпишите теорему, которая связывает известное с искомым.
4. Посчитайте, следя за привязкой: к какой стороне относится высота, к какому отрезку — проекция. Здесь теряется больше всего решений.

Прямоугольный треугольник: высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$. Известно, что $AH=9$ и $BH=16$. Найдите высоту $CH$ и катет $AC$.

1. Гипотенуза: $AB=AH+BH=9+16=25$.
2. Высота — среднее геометрическое отрезков гипотенузы: $CH=\sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12$.
3. Катет $AC$ — среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего к нему отрезка $AH$: $AC=\sqrt{AH\cdot AB}=\sqrt{9\cdot 25}=\sqrt{225}=15$.
4. Проверка теоремой Пифагора: $BC=\sqrt{BH\cdot AB}=\sqrt{16\cdot 25}=20$, и $AC^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2=AB^2$ — верно.

Равнобедренная трапеция: высота и площадь

Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 20, а боковая сторона — 13. Найдите высоту трапеции и её площадь.

1. Опустим высоту $DH$ из вершины меньшего основания на большее. В равнобедренной трапеции высоты «отсекают» по краям равные отрезки.
2. Эти отрезки в сумме дают разность оснований: $\dfrac{20-10}{2}=5$ с каждой стороны.
3. В прямоугольном треугольнике $AHD$ гипотенуза — боковая сторона $13$, один катет $5$. По теореме Пифагора высота $$h=DH=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$
4. Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту: $$S=\dfrac{10+20}{2}\cdot 12=15\cdot 12=180.$$

Расстояние от центра до хорды

В окружности радиуса 10 проведена хорда длиной 12. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

1. Проведём из центра $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому $AM=\dfrac{12}{2}=6$.
2. $OA$ — радиус, $OA=10$. Треугольник $OMA$ прямоугольный (угол при $M$ прямой).
3. По теореме Пифагора расстояние от центра до хорды: $$d=OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Как убедиться, что ответ верный

1. Прикиньте по чертежу. Катет не длиннее гипотенузы, высота не больше стороны, часть не больше целого.
2. Проверьте порядок величины. Ответ, в десятки раз больший всех данных, почти всегда ошибка.
3. Подставьте найденное обратно в ту теорему, из которой вы его получили.
4. Сверьте единицы: площадь — в квадратных, длина — в линейных.

Частые ошибки

Как записать решение №23

Это геометрия с вычислением: важен не только ответ, но и видимая опора на теоремы.

• Начните с чертежа: без него эксперт видит не решение, а угаданный ответ.
• Подпишите на чертеже известные длины, углы и равные отрезки — это уже часть обоснования.
• Не пишите формулу молча: скажите, почему теорема здесь применима.
• Ответ без хода решения — это 0 или 1 балл, даже если число верное.
• Доведите до числа и напишите «Ответ:» отдельной строкой.

Решить №23 с проверкой

Разбор прочитан — дальше решает рука. В тренажёре второй части задание №23 разобрано по шагам, с подсказками и проверкой записи.

Куда двигаться по геометрии и второй части

• Типичные ошибки в геометрии — что чаще всего подводит на чертеже.
• Ошибки во второй части и как оформлять решение на полный балл.
• Все темы ОГЭ — разбор и тренировка по темам.
• Тренировка задания 23 с проверкой.