Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.
1Задание 11 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Населённые пункты
Жуки
Кленовое
Сосенки
Цифры
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.
Следовательно, ответ: 312.
Ответ: 312
2Задание 21 балл
Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.
От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.
От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.
Складываем: 64 + 48 = 112 км.
Ответ: 112.
Ответ: 112
3Задание 31 балл
Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 48 км и 64 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.
Ответ: 80.
Ответ: 80
4Задание 41 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?
Решение
По прямой расстояние равно 80 км.
Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Ответ: 120,0
5Задание 51 балл
Наименование продукта
Ёлочки
Кленовое
Сосенки
Жуки
Молоко (1 л)
47
36
45
40
Хлеб (1 батон)
31
28
32
25
Сыр «Российский» (1 кг)
274
265
264
275
Говядина (1 кг)
297
292
297
301
Картофель (1 кг)
31
17
29
17
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,4\).
Ответ: \(0,4\).
Ответ: 0,4
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-0,063
2
\(\sqrt{2}\)
3
\(\frac{14}{9}\)
4
\(\frac{43}{15}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -1 и 0.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -0,063 ≈ -0,063
2) \(\sqrt{2}\) ≈ 1,4142
3) \(\frac{14}{9}\) ≈ 1,5556
4) \(\frac{43}{15}\) ≈ 2,8667
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)$$
Решение
Вычислим выражение: (√7 - 5)(√7 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√7)² - 5² = 7 - 25 = -18.
Ответ: -18.
Ответ: -18
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: 4x + 9 = 45
Решение
Решим уравнение: 4x + 9 = 45
Перенесём 9 в правую часть:
4x = 45 - 9
4x = 36
Разделим обе части на 4:
x = 36 / 4
x = 9
Ответ: 9
Ответ: 9
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 50 чашек: 18 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 32 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{32}{50}\) = 0,64.
Ответ: 0,64.
Ответ: 0,64
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -0.5x + 6
Б) y = -0.5/x
В) y = 1x² + 4x - 3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2 = 14, sinα = 0,333, а S = 25,667.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).
d₁ = 2·25,667/(14·0,333) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 < 25
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² < 25 получаем границы x = ±5. Верное решение: (-5;5). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 28 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 28, d = -5.
Последний положительный член прогрессии равен 3, значит секунд движения до полной остановки было 6.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 6·(28 + 3)/2 = 93.
Ответ: 93.
Ответ: 93
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 65° и BM = AM = MC.
Решение
Из условия BM = AM = MC.
Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.
Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 65°.
Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·65° = 50°.
Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 50° = 130°.
В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.
Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 130° = 180°.
Отсюда x = 90° - 65° = 25°.
Ответ: 25.
Ответ: 25
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 30, BC = 16, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По теореме Пифагора AB = 34.
Следовательно, R = AB / 2 = 34 / 2 = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Основания трапеции равны 2 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 19 / 2 = 9,5.
Ответ: 9,5.
Ответ: 9,5
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 3 и 9, высота равна 4.
S = (3 + 9) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2
Все углы ромба равны.
3
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Если \(t=4\): \(x-3=\dfrac{1}{4}\Rightarrow x=\dfrac{13}{4}\).
Если \(t=-1\): \(x-3=-1\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne3\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(2;\quad \dfrac{13}{4}\).
Правильный ответ: 2;13/4
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Баржа прошла по течению реки 52 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
52/(x + 5) + 48/(x − 5) = 5.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
52(x−5) + 48(x+5) = 5(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 32 и 24, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 7² = 49, AD·BC = 32·24 = 768.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.