Загрузка заданий...

Вариант 21 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно
Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печиТипОбъём помещения (куб. м)Масса (кг)Стоимость (руб.)
1дровяная8—124018 000
2дровяная10—164819 500
3электрическая9—15,51515 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)154048
Номер печи   
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
Ответ: 312
2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение
Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.
Ответ: 15.4
3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
Ответ: 2000
4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
Ответ: 16200
5 Задание 5 1 балл
Печь для бани и чертёж передней панели

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.
Ответ: 65
6 Числа и вычисления 1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{3} : \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{3} : \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{3}) : \frac{2}{3} = \frac{1}{2}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\).
Получили дробь \(\frac{3}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,75\).
Ответ: \(0,75\).
Ответ: 0,75
7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число -0,52?
Координатная прямая
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -0,52 по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл
Найдите значение выражения $$(7\sqrt{6})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (7√6)².
Используем свойство степени произведения: (7√6)² = 7² · (√6)².
Получаем 49 · 6 = 294.
Ответ: 294.
Ответ: 294
9 Уравнения, системы уравнений 1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(6x - 6)}{8} - \frac{(-3x + 7)}{8} + 9x = 49$$
Решение
Решим уравнение: (6x - 6)/8 - (-3x + 7)/8 + 9x = 49
Домножим обе части на НОК знаменателей 8 и 8, то есть на 8.
Получим:
(6x - 6) - (-3x + 7) + 72x = 392
Приведём подобные слагаемые:
81x - 13 = 392
Перенесём число в правую часть:
81x = 405
Разделим обе части на 81:
x = 405 / 81
x = 5
Ответ: 5
Ответ: 5
10 Статистика, вероятности 1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 9 чёрных, 26 жёлтых и 5 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 26 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{26}{40}\) = 0,65.
Ответ: 0,65.
Ответ: 0,65
11 Графики функций 1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
АБВ
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
Ответ: 231
12 Расчёты по формулам 1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 147 Вт, а сила тока равна 3,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 147/(3,5²) = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
13 Неравенства, системы неравенств 1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x − 4 < -1,4 \\ x + 1,5 < 2,1 \end{cases}$$
1
(-∞;-1,4]
2
(-∞;-1,4)
3
(0,6;+∞)
4
(-∞;0,6)
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;0,6). Это вариант 4.
Ответ: 4
14 Задачи на прогрессии 1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 36 минут пройдёт 6 промежутков по 6 минут.
Тогда масса станет равна 320·(\(\frac{1}{2}\))^6 = 5 мг.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15 Треугольники и их элементы 1 балл
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 21° и AK = CK.
Чертёж
Решение
Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.
Но ∠ACK = ∠C = 21°.
Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·21° = 42°.
Тогда ∠B = 180° - 42° - 21° = 117°.
Ответ: 117.
Ответ: 117
16 Окружность, круг и их элементы 1 балл
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 23°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Чертёж
Решение
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.
∠AOB = 2 · 23° = 46°.
Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.
Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.
∠AOD = 180° - 46° = 134°.
Ответ: 134.
Ответ: 134
17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл
Один из углов ромба равен 114°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Чертёж
Решение
Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.
Следовательно, искомый угол равен 114° / 2 = 57°.
Ответ: 57.
Ответ: 57
18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Чертёж
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 6 и 8.
Больший катет равен 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
19 Анализ геометрических высказываний 1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
В параллелограмме есть два равных угла.
2
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3
Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла
Найдите значение выражения \(9a-33b+39\), если \(\dfrac{5a-2b+6}{2a-5b+6}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(9a-33b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(5a-2b+6 = 7(2a-5b+6)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(5a-2b+6 = 14a-35b+42\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 9a-33b+36\), откуда \(9a-33b = -36\).
Шаг 4. Вычисляем: \(9a-33b+39 = -36+39 = 3\).
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21 Текстовые задачи 2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 400-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 1 ч раньше, значит его время меньше:
400/x − 400/(x+20) = 1.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):
400·(x+20) − 400·x = 1·x·(x+20).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 400·20 = 8000. Получаем:
1x² + 20x − 8000 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 20² + 4·1·8000 = 32400, √D = 180.
x = (−20 + 180) / (2·1) = 80 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 80 + 20 = 100 км/ч.
Ответ: 100.
Правильный ответ: 100
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -4,\\-\dfrac{36}{x},& x<-4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
График функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).
Ответ: {0}∪[9;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 4, AC = 36.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 4 · 36 = 144.
Шаг 3. AB = √144 = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высоты из E до противоположных сторон в сумме дают высоту параллелограмма.
Шаг 1. Пусть h₁ — расстояние от E до BC, h₂ — до AD. Тогда h₁ + h₂ = h (высота параллелограмма).
Шаг 2. S(BEC) = BC·h₁/2; S(AED) = AD·h₂/2.
Так как BC = AD (параллелограмм): S(BEC)+S(AED) = AD·(h₁+h₂)/2 = AD·h/2 = S(ABCD)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 33 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 20² = 400, AD·BC = 33·11 = 363.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта